lsqr (MATLAB Function Reference)

(translator=roro, ChineseSource=roro-20020630-8\lsqr.html, EnglishSource=c:\matlabr12\help\techdoc\ref\lsqr.html)

LSQR 對於一般方程式共軛傾斜度（Conjugate Gradients）的執行

Syntax

x = lsqr(A,b)
lsqr(A,b,tol)
lsqr(A,b,tol,maxit)
lsqr(A,b,tol,maxit,M)
lsqr(A,b,tol,maxit,M1,M2)
lsqr(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)
lsqr(afun,b,tol,maxit,m1fun,m2fun,x0,p1,p2,...)
[x,flag] = lsqr(A,b,...)
[x,flag,relres] = lsqr(A,b,...)
[x,flag,relres,iter] = lsqr(A,b,...)
[x,flag,relres,iter,resvec] = lsqr(A,b,...)

Description

x = lsqr(A,b) 若 A 具有一致性，則解線性方程式 A*x=b 中的 x；否則解最短距離 x 使 norm(b-A*x) 有最小值。m*n 的係數矩陣 A 不一定要正方矩陣，但行向量 b 的長度必須為 m。A 可為函數 afun，afun(x) 回傳 A*x 且 afun(x,'transp') 回傳 A'*x。

若 lsqr 收歛，相關訊息將顯示出來。若 lsqr 經過最大次數的重覆或任何理由被停止以致於沒有收歛，將會列印出一警告訊息顯示相關剩餘 norm(b-A*x)/norm(b)，而該作法下的重覆數字也將停止。

lsqr(A,b,tol) 定義方法的誤差。若 tol 為 []，則 lsqr 使用預設值 1e-6。

lsqr(A,b,tol,maxit) 定義最大重覆次數。若 maxit 為 []，則 lsqr 使用預設值 min([m,n,20])。

lsqr(A,b,tol,maxit,M1) 及 lsqr(A,b,tol,maxit,M1,M2) 使用 n*n 的先決條件 M 或 M = M1*M2 並有效地解方程式 A*inv(M)*y = b 的 y，其中 x = M*y。若 M 為 [] 則 lsqr 不使用任何先決條件。M 可為函數 mfun 其中 mfun(x) 回傳 M\x 且 mfun(x,'transp') 回傳 M'\x。

lsqr(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0) 定義一 n*1 的初始推測。若 x0 為 []，則 lsqr 使用預設值，即全為零的向量。

lsqr(afun,b,tol,maxit,m1fun,m2fun,x0,p1,p2,...) 傳送參數 p1,p2,... 至函式 afun(x,p1,p2,...) 及 afun(x,p1,p2,...,'transp') 且相似地傳送至先決函數 m1fun 和 m2fun。

[x,flag] = lsqr(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0) 亦回傳收歛旗標。

旗標
收歛性

0
lsqr 在 maxit 次內收歛至期望的誤差 tol。

1
lsqr 重覆 maxit 次但並沒有收歛。

2
先決條件 M 不夠完善。

3
lsqr 沉滯（stagnated）。（兩次連續的重覆視為相同）。

4

經 lsqr 計算的數值變得太小或太大以致於沒辦法繼續做計算。

旗標	收歛性
`0`	`lsqr` 在 `maxit` 次內收歛至期望的誤差 `tol。`
`1`	`lsqr` 重覆 `maxit` 次但並沒有收歛。
`2`	先決條件 `M` 不夠完善。
`3`	`lsqr` 沉滯（stagnated）。（兩次連續的重覆視為相同）。
`4`	經 `lsqr` 計算的數值變得太小或太大以致於沒辦法繼續做計算。

當 flag 不為 0 時，解 x 回傳經由所有重覆次數的最小基準餘數（minimal norm residual）。若有定義 flag 的輸出，則不會顯示任何訊息。

[x,flag,relres] = lsqr(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0) 亦回傳相關餘數的估計值 norm(b-A*x)/norm(b)。若 flag 為 0，relres <= tol。

[x,flag,relres,iter] = lsqr(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0) 亦回傳 x 計算時的重覆次數，即 0 <= iter <= maxit。

[x,flag,relres,iter,resvec] = lsqr(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0) 亦回傳在每一次重覆的剩餘基準估計向量，包括 norm(b-A*x0)。

Examples

n = 100; 
on = ones(n,1); 
A = spdiags([-2*on 4*on -on],-1:1,n,n);
b = sum(A,2); 
tol = 1e-8; 
maxit = 15;
M1 = spdiags([on/(-2) on],-1:0,n,n); 
M2 = spdiags([4*on -on],0:1,n,n);

x = lsqr(A,b,tol,maxit,M1,M2,[]);
lsqr converged at iteration 12 to a solution with relative 
residual 3.5e-009

另外選擇使用矩陣向量乘法函數

function y = afun(x,n,transp_flag)
if (nargin > 2) & strcmp(transp_flag,'transp')
   y = 4 * x;
   y(1:n-1) = y(1:n-1) - 2 * x(2:n);
   y(2:n) = y(2:n) - x(1:n-1);
else
   y = 4 * x;
   y(2:n) = y(2:n) - 2 * x(1:n-1);
   y(1:n-1) = y(1:n-1) - x(2:n);
end

如同 lsqr 的輸入。

x1 = lsqr(@afun,b,tol,maxit,M1,M2,[],n);

See Also

bicg, bicgstab, cgs, gmres, minres, pcg, qmr, symmlq

@ (function handle)

References

[1] Barrett, R., M. Berry, T. F. Chan, et al., Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods, SIAM, Philadelphia, 1994.

[2] Paige, C. C. and M. A. Saunders, "LSQR: An Algorithm for Sparse Linear Equations And Sparse Least Squares," ACM Trans. Math. Soft., Vol.8, 1982, pp. 43-71.

lsqnonneg 　 lu