MATLAB Function Reference

lu

LU 分解

Syntax

[L,U] = lu(X)
[L,U,P] = lu(X)
lu(X)
lu(X, thresh)

Description

lu 函式將原本的矩陣 X 表示成一上三角（upper triangular matrix）一下三角（lower triangular matrix）的兩個的矩陣，其乘積為 x。此分解法又叫做 LU 或 LR分解。

[L,U,P] = lu(X)  U 為上三角矩陣，L 為下三角矩陣，而 P 為排列矩陣（permutation matrix ）。即 L*U = P*X。

lu(X) 回傳 LAPACK 程序 DGETRF 或 ZGETRF輸出。

lu(X,thresh) 控制稀疏矩陣的中樞（pivot）， thresh 表示範圍在 [0,1] 之間的中樞臨界點（pivot threshold）。 thresh = 1 為預設值。

Remarks

大多數計算 LU 分解的演算法都是利用高斯消去法。分解過程中的關鍵是利用矩陣反轉函式 inv 及行列式（determinant）函式 det。 也可使用線性方程組的基本解法或利用矩陣除法 \ 及 /。

Arguments

X	將被分解的一 n * n 矩陣。
thresh	稀疏矩陣的中樞起點（ Pivot threshold）。其值的範圍在 [0,1] 之間。預設值為 1。
L	X 的一項分解因子。依據其函式， L 可能是下三角矩陣，也可能為一下三角矩陣及排列矩陣 P的乘積。
U	X 的一項分解因子。為上三角矩陣。
P	滿足 L*U = P*X的排列矩陣。

Examples

初始值為

A =
    1    2    3
    4    5    6
    7    8    0

呼叫兩個輸出參數的 lu 函式：

[L,U] = lu(A)

L =

    0.1429    1.0000         0
    0.5714    0.5000    1.0000
    1.0000         0         0

U =

    7.0000    8.0000    0.0000
         0    0.8571    3.0000
         0         0    4.5000

可由下式來驗証分解的結果是否有誤：

L*U

傳回原先的矩陣 A 後，使用三個輸出參數的函式以取得排列陣列：

[L,U,P] = lu(A)

傳回相同的 U ， 但 L 的值不同：

L =

    1.0000         0         0
    0.1429    1.0000         0
    0.5714    0.5000    1.0000

U =

    7.0000    8.0000         0
         0    0.8571    3.0000
         0         0    4.5000

P =

    0    0    1
    1    0    0
    0    1    0

為了要驗証 L*U 為 A的一種排列方式，將P*A 減去   L*U ：

P*A - L*U

X = inv(A) 正好是兩個三角矩陣的乘積：

X = inv(U)*inv(L)

而此範例的行列式為

d = det(A)

d =

    27

它也是兩個三角矩陣行列式的乘積：

d = det(L)*det(U)

Ax = b 可由矩陣除法解之：

x = A\b

此解也可由兩個三角矩陣解之：

y = L\b, x = U\y

Algorithm

lu 使用 LAPACK 的子程序 DGETRF (real) 及 ZGETRF (complex)。

See Also

cond, det, inv, luinc, qr, rref

The arithmetic operators \ and /

References

[1]  Anderson, E., Z. Bai, C. Bischof, S. Blackford, J. Demmel, J. Dongarra, J. Du Croz, A. Greenbaum, S. Hammarling, A. McKenney, and D. Sorensen, LAPACK User's Guide, Third Edition, SIAM, Philadelphia, 1999.

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luinc