symmlq (MATLAB Function Reference)

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對稱的 LQ 分解法

Syntax

x = symmlq(A,b)
symmlq(A,b,tol)
symmlq(A,b,tol,maxit)
symmlq(A,b,tol,maxit,M)
symmlq(A,b,tol,maxit,M1,M2)
symmlq(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)
symmlq(afun,b,tol,maxit,m1fun,m2fun,x0,p1,p2,...)
[x,flag] = symmlq(A,b,...)
[x,flag,relres] = symmlq(A,b,...)
[x,flag,relres,iter] = symmlq(A,b,...)
[x,flag,relres,iter,resvec] = symmlq(A,b,...)
[x,flag,relres,iter,resvec,resveccg] = symmlq(A,b,...)

Description

x = symmlq(A,b) 欲解線性式子中 A*x=b 的 x。n*n 的係數矩陣 A 必須為對稱性，但不一定是正向定義的（positive definite）。行向量 b 的長度為 n。A 可為函式 afun 而 afun(x) 回傳 A*x。

若 symmlq 收歛，則將會顯示該訊息。若 symmlq 經過最大重覆或任何理由的中斷後沒有收歛，則會顯示相關剩餘 norm(b-A*x)/norm(b) 及在那一步驟停止的重覆數字之警告訊息。

symmlq(A,b,tol) 說明此函式的誤差度。若 tol 為 []，symmlq 使用預設值 1e-6。

symmlq(A,b,tol,maxit) 說明此函式的最大重覆數。若 maxit 為 []，symmlq 使用預設值 min(n,20)。

symmlq(A,b,tol,maxit,M) 及 symmlq(A,b,tol,maxit,M1,M2) 使用對稱正向定義的先決條件 M 或 M = M1*M2 並且有效率地解式子 inv(sqrt(M))*A*inv(sqrt(M))*y = inv(sqrt(M))*b 中的 y， 其後回傳 x = inv(sqrt(M))*y。 若 M 為 []， 則函式 symmlq 沒有任何的先決條件。 M 也可為一函式其回傳 M\x。

symmlq(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0) 定義起始的猜測。若 x0 為 []， 則 symmlq 使用預設值，即一個全為 0 的向量。

symmlq(afun,b,tol,maxit,m1fun,m2fun,x0,p1,p2,...) 將參數 p1,p2,... 傳送至函式 afun(x,p1,p2,...), m1fun(x,p1,p2,...), 及 m2fun(x,p1,p2,...)。

[x,flag] = symmlq(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0,p1,p2,...) 傳回收歛的旗標。

旗標
收歛

0
symmlq 在預期的誤差 tol 及最大的重覆次數 maxit 中收歛。

1
symmlq 重覆了 maxit 次但沒有收歛。

2
先決條件 M 為不完善的決定條件。

3
symmlq 沉滯。（兩個連續的重覆為相同的）

4

在計算 symmlq 時其中之一的數量值變得太大或太小以致於無法繼續做運算。

5

先決條件 M 並不屬於對稱的正向定義。

旗標	收歛
`0`	`symmlq` 在預期的誤差 `tol` 及最大的重覆次數 `maxit` 中收歛。
`1`	`symmlq` 重覆了 `maxit` 次但沒有收歛。
`2`	先決條件 `M` 為不完善的決定條件。
`3`	`symmlq` 沉滯。（兩個連續的重覆為相同的）
`4`	在計算 `symmlq` 時其中之一的數量值變得太大或太小以致於無法繼續做運算。
`5`	先決條件 `M` 並不屬於對稱的正向定義。

當 flag 不為 0， x 將會是經過所有重覆後的最小基準剩餘。若有定義 flag 這項輸出參數，則將不會有任何訊息顯示。

[x,flag,relres] = symmlq(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0,p1,p2,...) 亦回傳相關剩餘 norm(b-A*x)/norm(b)。若 flag 為 0，relres <= tol。

[x,flag,relres,iter] = symmlq(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0,p1,p2,...) 亦傳回計算 x 的該次重覆值，其 0 <= iter <= maxit。

[x,flag,relres,iter,resvec] = symmlq(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0,p1,p2,...) 亦傳回每次重覆時 minres 的估計向量，包括 norm(b-A*x0)。

[x,flag,relres,iter,resvec,resveccg] = symmlq(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0,p1,p2,...) 亦傳回每次重覆時的 Conjugate Gradients 剩餘基準的估計向量。

Examples

Example 1.

n = 100; 
on = ones(n,1); 
A = spdiags([-2*on 4*on -2*on],-1:1,n,n);
b = sum(A,2); 
tol = 1e-10; 
maxit = 50; M1 = spdiags(4*on,0,n,n);

x = symmlq(A,b,tol,maxit,M1,[],[]);
symmlq converged at iteration 49 to a solution with relative 
residual 4.3e-015

使用矩陣向量乘法函式：

function y = afun(x,n)
   y = 4 * x;
   y(2:n) = y(2:n) - 2 * x(1:n-1);
   y(1:n-1) = y(1:n-1) - 2 * x(2:n);

如同此 symmlq 的輸入：

x1 = symmlq(@afun,b,tol,maxit,M1,[],[],n);

Example 2.

使用不一定對稱的矩陣為函式 pcg 的輸入時，結果失敗了：

A = diag([20:-1:1,-1:-1:-20]);
b = sum(A,2);      % The true solution is the vector of all ones.
x = pcg(A,b);      % Errors out at the first iteration.
pcg stopped at iteration 1 without converging to the desired
tolerance 1e-006 because a scalar quantity became too small or 
too large to continue computing. 
The iterate returned (number 0) has relative residual 1

然而， symmlq 可以處理上述的矩陣 A：

x = symmlq(A,b,1e-6,40);
symmlq converged at iteration 39 to a solution with relative 
residual 1.3e-007

See Also

bicg, bicgstab, cgs, lsqr, gmres, minres, pcg, qmr

@ (function handle), / (slash)

References

[1] Barrett, R., M. Berry, T. F. Chan, et al., Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods, SIAM, Philadelphia, 1994.

[2] Paige, C. C. and M. A., "Solution of Sparse Indefinite Systems of Linear Equations." SIAM J. Numer. Anal., Vol.12, 1975, pp. 617-629.

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