MATLAB Function Reference

gmres

推論最小餘數（residual）的方法

Syntax

x = gmres(A,b)
gmres(A,b,restart)
gmres(A,b,restart,tol)
gmres(A,b,restart,tol,maxit)
gmres(A,b,restart,tol,maxit,M)
gmres(A,b,restart,tol,maxit,M1,M2)
gmres(A,b,restart,tol,maxit,M1,M2,x0)
gmres(afun,b,restart,tol,maxit,m1fun,m2fun,x0,p1,p2,...)
[x,flag] = gmres(A,b,...)
[x,flag,relres] = gmres(A,b,...) 
[x,flag,relres,iter] = gmres(A,b,...)
[x,flag,relres,iter,resvec] = gmres(A,b,...)

Description

x = gmres(A,b) 解線性方程式 A*x = b 的 x。A 為 n*n 的係數矩陣而行向量 b 的長度也必須為 n。A 可為函數 afun 且 afun(x) 可回傳 A*x。

若 gmres 收歛，相關訊息將顯示出來。若 gmres 經過最大次數的重覆或任何理由被停止以致於沒有收歛，將會列印出一警告訊息顯示相關剩餘 norm(b-A*x)/norm(b)，而該作法下的重覆數字也將停止。

gmres(A,b,restart) 每 restart 次就重新開始該方法。若 restart 為 []，則 gmres 使用預設值 n，事實上就不會重新開始了。

gmres(A,b,restart,tol) 定義方法的誤差。若 tol 為 []，則 gmres 使用預設值 1e-6。

gmres(A,b,restart,tol,maxit) 定義最大重覆次數。若 maxit 為 []，則 gmres 使用預設值 min(n/restart,10)。

gmres(A,b,restart,tol,maxit,M) 及 gmres(A,b,restart,tol,maxit,M1,M2) 使用先決條件 M 或 M = M1*M2 並有效地解方程式 inv(M)*A*x = inv(M)*b 的 x。若 M 為 []，則 gmres 不使用任何先決控制條件。M 可為一函式其回傳 M\x。

gmres(A,b,restart,tol,maxit,M1,M2,x0) 定義初始的推測。若 x0 為 []，則 gmres 使用預設值。即全為零的向量。

gmres(afun,b,restart,tol,maxit,m1fun,m2fun,x0,p1,p2,...) 傳送參數至函數 afun(x,p1,p2,...), m1fun(x,p1,p2,...), and m2fun(x,p1,p2,...)。

[x,flag] = gmres(A,b,...) 回傳一收歛的旗標。

旗標	收歛性
0	gmres 在 maxit 次內收歛至期望的誤差 tol。
1	gmres 重覆 maxit 次但並沒有收歛。
2	先決條件 M 不夠完善。
3	gmres 沉滯（stagnated）。（兩次連續的重覆視為相同）。

當 flag 不為 0 時，解 x 回傳經由所有重覆次數的最小基準餘數（minimal norm residual）。若有定義 flag 的輸出，則不會顯示任何訊息。

[x,flag,relres] = gmres(A,b,...) 亦回傳相關餘數 norm(b-A*x)/norm(b)。若 flag 為 0，relres <= tol。

[x,flag,relres,iter] = gmres(A,b,...) 亦回傳 x 的外表及核心重覆次數，0 <= iter(1) <= maxit 且 0 <= iter(2) <= restart。

[x,flag,relres,iter,resvec] = gmres(A,b,...) 亦回傳每一核心重覆的剩餘基準的向量，包括 norm(b-A*x0)。

Examples

範例 1

A = gallery('wilk',21);  
b = sum(A,2);
tol = 1e-12;  
maxit = 15; 
M1 = diag([10:-1:1 1 1:10]);

x = gmres(A,b,10,tol,maxit,M1,[],[]);
gmres(10) converged at iteration 2(10) to a solution with relative 
residual 1.9e-013

另外選擇使用矩陣向量乘法函式

function y = afun(x,n)
y = [0; 
     x(1:n-1)] + [((n-1)/2:-1:0)'; 
     (1:(n-1)/2)'] .*x + [x(2:n); 
     0];

及此先決條件反解（backsolve）函式

function y = mfun(r,n)
y = r ./ [((n-1)/2:-1:1)'; 1; (1:(n-1)/2)'];

如同 gmres 的輸入

x1 = gmres(@afun,b,10,tol,maxit,@mfun,[],[],21);

注意 afun 及 mfun 皆必須接受 gmres's 額外的輸入值 n=21。

範例 2

load west0479
A = west0479
b = sum(A,2)
[x,flag] = gmres(A,b,5)

flag 為 1 因為 gmres 在預設的外表重覆次數 10 內並沒有收歛至預設誤差 1e-6。

[L1,U1] = luinc(A,1e-5);
[x1,flag1] = gmres(A,b,5,1e-6,5,L1,U1);

flag1 為 2 因為上三角 U1 在其對角線有零的出現，而 gmres 當試著用反斜線解 U1*y = r 的 y 時並沒有於第一次的重覆中成功。

[L2,U2] = luinc(A,1e-6);
tol = 1e-15;
[x4,flag4,relres4,iter4,resvec4] = gmres(A,b,4,tol,5,L2,U2);
[x6,flag6,relres6,iter6,resvec6] = gmres(A,b,6,tol,3,L2,U2);
[x8,flag8,relres8,iter8,resvec8] = gmres(A,b,8,tol,3,L2,U2);

flag4, flag6, 及 flag8 全為 0 因為當重新開始於重覆次數 4, 6 及 8 次，先決條件由誤差為 1e-6 的不完全 LU 分解決定時，gmres 收歛。可由外表重覆次數相對於相關剩餘的平面圖來確認。所有三個的結合平面圖清楚地顯示重覆在 4 及 6 次的重新開始。重覆的總數可比 restart 中較小的值大，但長度為 n 的向量其總數只有一些，大部份的工作依比例漸減地完成。

See Also

bicg, bicgstab, cgs, lsqr, luinc, minres, pcg, qmr, symmlq

@ (function handle), \ (backslash)

References

[1]  Barrett, R., M. Berry, T. F. Chan, et al., Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods, SIAM, Philadelphia, 1994.

[2]  Saad, Youcef and Martin H. Schultz, "GMRES: A generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems", SIAM J. Sci. Stat. Comput., July 1986, Vol. 7, No. 3, pp. 856-869.

global

gplot