MATLAB Function Reference

qmr

Quasi 最小剩餘法

Syntax

x = qmr(A,b)
qmr(A,b,tol)
qmr(A,b,tol,maxit)
qmr(A,b,tol,maxit,M)
qmr(A,b,tol,maxit,M1,M2)
qmr(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)
qmr(afun,b,tol,maxit,m1fun,m2fun,x0,p1,p2,...)
[x,flag] = qmr(A,b,...)
[x,flag,relres] = qmr(A,b,...)
[x,flag,relres,iter] = qmr(A,b,...)
[x,flag,relres,iter,resvec] = qmr(A,b,...)

Description

x = qmr(A,b) 解線性方程式 A*x = b 的 x。A 為 n*n 的係數矩陣而行向量 b 的長度也必須為 n。A 可為函數 afun 且 afun(x) 回傳 A*x，afun(x,'transp') 回傳 A'*x。

若 qmr 收歛，相關訊息將顯示出來。若 qmr 經過最大次數的重覆或任何理由被停止以致於沒有收歛，將會列印出一警告訊息顯示相關剩餘 norm(b-A*x)/norm(b)，而該作法下的重覆數字也將停止。

qmr(A,b,tol) 定義方法的誤差。若 tol 為 []，則 qmr 使用預設值 1e-6。

qmr(A,b,tol,maxit) 定義最大重覆次數。若 maxit 為 []，則 qmr 使用預設值 min(n,20)。

qmr(A,b,tol,maxit,M) 及 qmr(A,b,tol,maxit,M1,M2) 使用先決條件 M 或 M = M1*M2 並有效地解方程式 inv(M)*A*x = inv(M)*b 的 x。若 M 為 []，則 qmr 不使用任何先決控制條件。M 可為函式 mfun 其可回傳 M\x，mfun(x,'transp') 則回傳 M'\x。

qmr(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0) 定義初始的推測。若 x0 為 []，則 qmr 使用預設值。即全為零的向量。

qmr(afun,b,tol,maxit,m1fun,m2fun,x0,p1,p2,...) 傳送參數 p1,p2,... 至函式 afun(x,p1,p2,...) 及 afun(x,p1,p2,...,'transp') 並與其對先決函式 m1fun 和 m2fun 的用法相似。

[x,flag] = qmr(A,b,...) 亦回傳收歛旗標。

旗標	收歛性
0	qmr 在 maxit 次內收歛至期望的誤差 tol。
1	qmr 重覆 maxit 次但並沒有收歛。
2	先決條件 M 不夠完善。
3	qmr 沉滯（stagnated）。（兩次連續的重覆視為相同）。
4	經 qmr 計算的數值變得太小或太大以致於沒辦法繼續做計算。

當 flag 不為 0 時，解 x 回傳經由所有重覆次數的最小基準餘數（minimal norm residual）。若有定義 flag 的輸出，則不會顯示任何訊息。

[x,flag,relres] = qmr(A,b,...) 亦回傳相關剩餘 norm(b-A*x)/norm(b)。若 flag 為 0, relres <= tol。

[x,flag,relres,iter] = qmr(A,b,...) 亦回傳 x 計算時的重覆次數，即 0 <= iter <= maxit。

[x,flag,relres,iter,resvec] = qmr(A,b,...) 亦回傳在每一次重覆的剩餘基準估計向量，包括 norm(b-A*x0)。

Examples

範例 1

n = 100;
on = ones(n,1);
A = spdiags([-2*on 4*on -on],-1:1,n,n);
b = sum(A,2);
tol = 1e-8; maxit = 15;
M1 = spdiags([on/(-2) on],-1:0,n,n);
M2 = spdiags([4*on -on],0:1,n,n);
x = qmr(A,b,tol,maxit,M1,M2,[]);

另外選擇使用矩陣向量乘法的函式

function y = afun(x,n,transp_flag)
if (nargin > 2) & strcmp(transp_flag,'transp')
   y = 4 * x;
   y(1:n-1) = y(1:n-1) - 2 * x(2:n);
   y(2:n) = y(2:n) - x(1:n-1);
else
   y = 4 * x;
   y(2:n) = y(2:n) - 2 * x(1:n-1);
   y(1:n-1) = y(1:n-1) - x(2:n);
end

如同 qmr 的輸入

x1 = qmr(@afun,b,tol,maxit,M1,M2,[],n);

範例 2

load west0479;
A = west0479;
b = sum(A,2);
[x,flag] = qmr(A,b)

flag 為 1 因為 qmr 經預設的 20 次重覆後沒有收歛。

[L1,U1] = luinc(A,1e-5);
[x1,flag1] = qmr(A,b,1e-6,20,L1,U1)

flag1 為 2 因為上三角 U1 在其對角線有一個零。此方法在第一次重覆去使用反斜線解方程式 U1*y = r 時會失敗。

[L2,U2] = luinc(A,1e-6);
[x2,flag2,relres2,iter2,resvec2] = qmr(A,b,1e-15,10,L2,U2)

flag2 為 0 因為當以微誤差為 1e-6 的前提下使用不完全 LU 分解在第八次重覆（iter2 的值）時 bicgstab 收歛值誤差值  1.6571e-016（relres2 的值）。resvec2(1) = norm(b) 且 resvec2(9) = norm(b-A*x2)。可藉由繪製 qmr 每一半點的相關剩餘及每一次重覆結束的過程了解。

semilogy(0:iter2,resvec2/norm(b),'-o')
xlabel('iteration number')
ylabel('relative residual')

See Also

bicg, bicgstab, cgs, gmres, lsqr, luinc, minres, pcg, symmlq

@ (function handle), \ (backslash)

References

[1]  Barrett, R., M. Berry, T. F. Chan, et al., Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods, SIAM, Philadelphia, 1994.

[2]  Freund, Roland W. and Nöel M. Nachtigal, "QMR: A quasi-minimal residual method for non-Hermitian linear systems", SIAM Journal: Numer. Math. 60, 1991, pp. 315-339.

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