pcg (MATLAB Function Reference)

(translator=roro, ChineseSource=roro-20020630-8\pcg.html, EnglishSource=c:\matlabr12\help\techdoc\ref\pcg.html)

事前共軛傾斜（Preconditioned Conjugate Gradients）法

Syntax

x = pcg(A,b)
pcg(A,b,tol)
pcg(A,b,tol,maxit)
pcg(A,b,tol,maxit,M)
pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2)
pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)
pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0,p1,p2,...)
[x,flag] = pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0,p1,p2,...) 
[x,flag,relres] = pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0,p1,p2,...)
[x,flag,relres,iter] = pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0,p1,p2,...)
[x,flag,relres,iter,resvec] = pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0,p1,p2,...)

Description

x = pcg(A,b) 解線性方程式 A*x=b 的 x。n*n 的係數矩陣 A 必須為對稱且具正向定義（positive definite），而行向量 b 的長度為 n。A 可以是函數 afun 且 afun(x) 回傳 A*x。

若 pcg 收歛，將會顯示相關訊息。若 pcg 經過最大次數的重覆或任何理由被停止以致於沒有收歛，將會列印出一警告訊息顯示相關剩餘 norm(b-A*x)/norm(b)，而該作法下的重覆數字也將停止。

pcg(A,b,tol) 定義容許誤差值。若 tol 為 []，則 pcg 使用預設值 1e-6。

pcg(A,b,tol,maxit) 定義重覆次數的最大值。若 maxit 為 []，則 pcg 使用預設值 min(n,20)。

pcg(A,b,tol,maxit,M) 及 pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2) 使用先決條件 M 或 M = M1*M2 並有效地解方程式 inv(M)*A*x = inv(M)*b 的 x。若 M 為 []，則 pcg 不使用任何先決控制條件。M 可為一函式其回傳 M\x。

pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0) 定義初始的推測。若 x0 為 []，則 pcg 使用預設值。即全為零的向量。

pcg(afun,b,tol,maxit,m1fun,m2fun,x0,p1,p2,...) 傳送參數 p1,p2,... 至函數 afun(x,p1,p2,...), m1fun(x,p1,p2,...), 和 m2fun(x,p1,p2,...)。

[x,flag] = pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0) 亦回傳收歛旗標。

旗標
收歛性

0
pcg 在 maxit 次內收歛至期望的誤差 tol。

1
pcg 重覆 maxit 次但並沒有收歛。

2
先決條件 M 不夠完善。

3
pcg 沉滯（stagnated）。（兩次連續的重覆視為相同）。

4

經 pcg 計算的數值變得太小或太大以致於沒辦法繼續做計算。

旗標	收歛性
`0`	`pcg` 在 `maxit` 次內收歛至期望的誤差 `tol。`
`1`	`pcg` 重覆 `maxit` 次但並沒有收歛。
`2`	先決條件 `M` 不夠完善。
`3`	`pcg` 沉滯（stagnated）。（兩次連續的重覆視為相同）。
`4`	經 `pcg` 計算的數值變得太小或太大以致於沒辦法繼續做計算。

當 flag 不為 0 時，解 x 回傳經由所有重覆次數的最小基準餘數（minimal norm residual）。若有定義 flag 的輸出，則不會顯示任何訊息。

[x,flag,relres] = pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0) 亦回傳相關餘數的估計值 norm(b-A*x)/norm(b)。若 flag 為 0，relres <= tol。

[x,flag,relres,iter] = pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0) 亦回傳 x 計算時的重覆次數，即 0 <= iter <= maxit。

[x,flag,relres,iter,resvec] = pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0) 亦回傳在每一次重覆的剩餘基準估計向量，包括 norm(b-A*x0)。

Examples

範例 1

A = gallery('wilk',21);  
b = sum(A,2);
tol = 1e-12;  
maxit = 15;  
M = diag([10:-1:1 1 1:10]);
[x,flag,rr,iter,rv] = pcg(A,b,tol,maxit,M);

另外選擇使用矩陣向量乘法的函式

function y = afun(x,n)
y = [0; 
     x(1:n-1)] + [((n-1)/2:-1:0)'; 
     (1:(n-1)/2)'].*x + [x(2:n); 
     0];

而此先決反解（backsolve）函式

function y = mfun(r,n)
y = r ./ [((n-1)/2:-1:1)'; 1; (1:(n-1)/2)'];

如同 pcg 的輸入

[x1,flag1,rr1,iter1,rv1] = pcg(@afun,b,tol,maxit,@mfun,...
                               [],[],21);

範例 2

A = delsq(numgrid('C',25));
b = ones(length(A),1);
[x,flag] = pcg(A,b)

flag 為 1 因為 pcg 在預設的外表重覆次數 20 內並沒有收歛至預設誤差 1e-6。

R = cholinc(A,1e-3);
[x2,flag2,relres2,iter2,resvec2] = pcg(A,b,1e-8,10,R',R)

flag2 為 0 因為 pcg 在微量誤差為 1e-3 的不完全 Cholesky 分解法在第六次重覆時（ iter2 的值）收歛至誤差值為 1.2e-9（即 relres2 的值）。resvec2(1) = norm(b) 且 resvec2(7) = norm(b-A*x2)。可藉由開始於初始估計的每一次重覆相關餘數平面圖來了解。

semilogy(0:iter2,resvec2/norm(b),'-o')
xlabel('iteration number')
ylabel('relative residual')

See Also

bicg, bicgstab, cgs, cholinc, gmres, lsqr, minres, qmr, symmlq

@ (function handle), \ (backslash)

References

[1] Barrett, R., M. Berry, T. F. Chan, et al., Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods, SIAM, Philadelphia, 1994.

pbaspect 　 pchip