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MATLAB Function Reference    
pcg

事前共軛傾斜(Preconditioned Conjugate Gradients)法

Syntax

Description

x = pcg(A,b) 解線性方程式 A*x=bx。n*n 的係數矩陣 A 必須為對稱且具正向定義(positive definite),而行向量 b 的長度為 nA 可以是函數 afunafun(x) 回傳 A*x。

pcg 收歛,將會顯示相關訊息。若 pcg 經過最大次數的重覆或任何理由被停止以致於沒有收歛,將會列印出一警告訊息顯示相關剩餘 norm(b-A*x)/norm(b),而該作法下的重覆數字也將停止。

pcg(A,b,tol) 定義容許誤差值。若 tol[],則 pcg 使用預設值 1e-6

pcg(A,b,tol,maxit) 定義重覆次數的最大值。若 maxit[],則 pcg 使用預設值 min(n,20)

pcg(A,b,tol,maxit,M)pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2) 使用先決條件 MM = M1*M2 並有效地解方程式 inv(M)*A*x = inv(M)*bx。若 M[],pcg 不使用任何先決控制條件。M 可為一函式其回傳 M\x

pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0) 定義初始的推測。若 x0[],則 pcg 使用預設值。即全為零的向量。

pcg(afun,b,tol,maxit,m1fun,m2fun,x0,p1,p2,...) 傳送參數 p1,p2,... 至函數 afun(x,p1,p2,...), m1fun(x,p1,p2,...), 和 m2fun(x,p1,p2,...)

[x,flag] = pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0) 亦回傳收歛旗標。

旗標
收歛性
0
pcg maxit 次內收歛至期望的誤差 tol。
1
pcg 重覆 maxit 次但並沒有收歛。
2
先決條件 M 不夠完善。
3
pcg 沉滯(stagnated)。(兩次連續的重覆視為相同)。  
4

pcg 計算的數值變得太小或太大以致於沒辦法繼續做計算。

flag 不為 0 時,解 x 回傳經由所有重覆次數的最小基準餘數(minimal norm residual)。若有定義 flag 的輸出,則不會顯示任何訊息。

[x,flag,relres] = pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0) 亦回傳相關餘數的估計值 norm(b-A*x)/norm(b)。若 flag0relres <= tol

[x,flag,relres,iter] = pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0) 亦回傳 x 計算時的重覆次數,即 0 <= iter <= maxit

[x,flag,relres,iter,resvec] = pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0) 亦回傳在每一次重覆的剩餘基準估計向量,包括 norm(b-A*x0)

Examples

範例 1

另外選擇使用矩陣向量乘法的函式

而此先決反解(backsolve)函式

如同 pcg 的輸入

範例 2

flag1 因為 pcg 在預設的外表重覆次數 20 內並沒有收歛至預設誤差 1e-6。

flag20 因為 pcg 在微量誤差為 1e-3 的不完全 Cholesky 分解法在第六次重覆時( iter2 的值)收歛至誤差值為 1.2e-9(即 relres2 的值)。resvec2(1) = norm(b)resvec2(7) = norm(b-A*x2)。可藉由開始於初始估計的每一次重覆相關餘數平面圖來了解。

See Also

bicg, bicgstab, cgs, cholinc, gmres, lsqr, minres, qmr, symmlq

@ (function handle), \ (backslash)

References

[1]  Barrett, R., M. Berry, T. F. Chan, et al., Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods, SIAM, Philadelphia, 1994.


 pbaspect pchip