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事前共軛傾斜(Preconditioned Conjugate Gradients)法
Syntax
x = pcg(A,b) pcg(A,b,tol) pcg(A,b,tol,maxit) pcg(A,b,tol,maxit,M) pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2) pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0) pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0,p1,p2,...) [x,flag] = pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0,p1,p2,...) [x,flag,relres] = pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0,p1,p2,...) [x,flag,relres,iter] = pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0,p1,p2,...) [x,flag,relres,iter,resvec] = pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0,p1,p2,...)
Description
x = pcg(A,b)
解線性方程式 A*x=b
的 x。n*n
的係數矩陣 A
必須為對稱且具正向定義(positive definite),而行向量 b
的長度為 n
。A
可以是函數 afun
且 afun(x)
回傳 A*x。
若 pcg
收歛,將會顯示相關訊息。若 pcg
經過最大次數的重覆或任何理由被停止以致於沒有收歛,將會列印出一警告訊息顯示相關剩餘 norm(b-A*x)/norm(b)
,而該作法下的重覆數字也將停止。
pcg(A,b,tol)
定義容許誤差值。若 tol
為 []
,則 pcg
使用預設值 1e-6
。
pcg(A,b,tol,maxit)
定義重覆次數的最大值。若 maxit
為 []
,則 pcg
使用預設值 min(n,20)
。
pcg(A,b,tol,maxit,M) 及 pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2)
使用先決條件 M
或 M = M1*M2
並有效地解方程式 inv(M)*A*x = inv(M)*b
的 x
。若 M
為 [],
則 pcg
不使用任何先決控制條件。M
可為一函式其回傳 M\x
。
pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)
定義初始的推測。若 x0
為 []
,則
pcg
使用預設值。即全為零的向量。
pcg(afun,b,tol,maxit,m1fun,m2fun,x0,p1,p2,...)
傳送參數 p1,p2,...
至函數 afun(x,p1,p2,...)
, m1fun(x,p1,p2,...)
,
和 m2fun(x,p1,p2,...)
。
[x,flag] = pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)
亦回傳收歛旗標。
旗標 |
收歛性 |
0 |
pcg 在 maxit 次內收歛至期望的誤差 tol。 |
1 |
pcg 重覆 maxit 次但並沒有收歛。 |
2 |
先決條件 M 不夠完善。 |
3 |
pcg 沉滯(stagnated)。(兩次連續的重覆視為相同)。 |
4 |
當 flag
不為 0
時,解 x
回傳經由所有重覆次數的最小基準餘數(minimal norm residual)。若有定義 flag
的輸出,則不會顯示任何訊息。
[x,flag,relres] = pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)
亦回傳相關餘數的估計值 norm(b-A*x)/norm(b)
。若 flag
為 0
,relres <= tol
。
[x,flag,relres,iter] = pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)
亦回傳 x
計算時的重覆次數,即 0 <= iter <= maxit
。
[x,flag,relres,iter,resvec] = pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)
亦回傳在每一次重覆的剩餘基準估計向量,包括 norm(b-A*x0)
。
Examples
A = gallery('wilk',21); b = sum(A,2); tol = 1e-12; maxit = 15; M = diag([10:-1:1 1 1:10]); [x,flag,rr,iter,rv] = pcg(A,b,tol,maxit,M);
function y = afun(x,n) y = [0; x(1:n-1)] + [((n-1)/2:-1:0)'; (1:(n-1)/2)'].*x + [x(2:n); 0];
function y = mfun(r,n) y = r ./ [((n-1)/2:-1:1)'; 1; (1:(n-1)/2)'];
[x1,flag1,rr1,iter1,rv1] = pcg(@afun,b,tol,maxit,@mfun,... [],[],21);
A = delsq(numgrid('C',25)); b = ones(length(A),1); [x,flag] = pcg(A,b)
flag
為 1
因為 pcg
在預設的外表重覆次數 20 內並沒有收歛至預設誤差 1e-6。
R = cholinc(A,1e-3); [x2,flag2,relres2,iter2,resvec2] = pcg(A,b,1e-8,10,R',R)
flag2
為 0
因為 pcg
在微量誤差為 1e-3
的不完全 Cholesky 分解法在第六次重覆時( iter2
的值)收歛至誤差值為 1.2e-9
(即 relres2
的值)。resvec2(1) = norm(b)
且 resvec2(7) = norm(b-A*x2)
。可藉由開始於初始估計的每一次重覆相關餘數平面圖來了解。
semilogy(0:iter2,resvec2/norm(b),'-o')
xlabel('iteration number')
ylabel('relative residual')
See Also
bicg
, bicgstab
, cgs
, cholinc
, gmres
, lsqr
, minres
, qmr
, symmlq
@
(function handle), \
(backslash)
References
[1] Barrett, R., M. Berry, T. F. Chan, et al., Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods, SIAM, Philadelphia, 1994.
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