minres (MATLAB Function Reference)

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求出最小的剩餘（residual）

Syntax

x = minres(A,b)
minres(A,b,tol)
minres(A,b,tol,maxit)
minres(A,b,tol.maxit,M)
minres(A,b,tol,maxit,M1,M2)
minres(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)
minres(afun,b,tol,maxit,mifun,m2fun,x0,p1,p2,...)
[x,flag] = minres(A,b,...)
[x,flag,relres] = minres(A,b,...)
[x,flag,relres,iter] = minres(A,b,...)
[x,flag,relres,iter,resvec] = minres(A,b,...)
[x,flag,relres,iter,resvec,resveccg] = minres(A,b,...)

Description

x = minres(A,b)對線性方程組 A*x=b 找出一組最小基準剩餘（minimum norm residual）的解存入 x 中。 n*n 的係數矩陣 A 必須為對稱，但不可屬於正向定義矩陣（positive definite）。行向量 b 的長度為 n。 A 可為 afun 函式其 afun(x) 回傳 A*x。

若 minres 收歛，則會顯示該結果訊息。若 minres 經過了所限制最大數的重覆或是其他任何理由停止導致沒有收歛，則警告的訊息將顯示相關剩餘基準 norm(b-A*x)/norm(b) 及重覆的次數。

minres(A,b,tol) 定義此函式的誤差。若 tol 為 []， 則函式 minres 將使用預設值 1e-6。

minres(A,b,tol,maxit) 定義最大的重覆次數。若 maxit 為 []， 則函式 minres 將會使用預設值 min(n,20)。

minres(A,b,tol,maxit,M) 和 minres(A,b,tol,maxit,M1,M2) 使用對稱正向定義的先決條件 M 或 M = M1*M2 並且有效率地解式子 inv(sqrt(M))*A*inv(sqrt(M))*y = inv(sqrt(M))*b 中的 y， 其後回傳 x = inv(sqrt(M))*y。 若 M 為 []， 則函式 minres 沒有任何的先決條件。 M 也可為一函式其回傳 M\x。

minres(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0) 定義起始的猜測。若 x0 為 []， 則 minres 使用預設值，即一個全為 0 的向量。

minres(afun,b,tol,maxit,m1fun,m2fun,x0,p1,p2,...) 將參數 p1,p2,... 傳送至函式 afun(x,p1,p2,...), m1fun(x,p1,p2,...), 及 m2fun(x,p1,p2,...)。

[x,flag] = minres(A,b,...) 傳回收歛的旗標。

旗標收歛

0
minres 在預期的誤差 tol 及最大的重覆次數 maxit 中收歛。
1
minres 重覆了 maxit 次但並沒有收歛。
2
先決條件 M 為不完善的決定條件。
3
minres 沉滯。（兩個連續的重覆為相同的）
4

在計算 minres 時其中之一的數量值變得太大或太小以致於無法繼續做運算。

旗標	收歛
`0`	`minres` 在預期的誤差 `tol` 及最大的重覆次數 `maxit` 中收歛。
`1`	`minres` 重覆了 `maxit` 次但並沒有收歛。
`2`	先決條件 `M` 為不完善的決定條件。
`3`	`minres` 沉滯。（兩個連續的重覆為相同的）
`4`	在計算 `minres` 時其中之一的數量值變得太大或太小以致於無法繼續做運算。

當 flag 不為 0， x 將會是經過所有重覆後的最小基準剩餘。若有定義 flag 這項輸出參數，則將不會有任何訊息顯示。

[x,flag,relres] = minres(A,b,...) 亦傳回相關剩餘 norm(b-A*x)/norm(b)。 若 flag 為 0， relres <= tol。

[x,flag,relres,iter] = minres(A,b,...) 亦傳回計算 x 的該次重覆值，其 0 <= iter <= maxit。

[x,flag,relres,iter,resvec] = minres(A,b,...) 亦傳回每次重覆時 minres 的估計向量，包括 norm(b-A*x0)。

[x,flag,relres,iter,resvec,resveccg] = minres(A,b,...) 亦傳回每次重覆時的 Conjugate Gradients 剩餘基準的估計向量。

Examples

Example 1.

n = 100; on = ones(n,1); 
A = spdiags([-2*on 4*on -2*on],-1:1,n,n);
b = sum(A,2); 
tol = 1e-10; 
maxit = 50; 
M1 = spdiags(4*on,0,n,n);

x = minres(A,b,tol,maxit,M1,[],[]);
minres converged at iteration 49 to a solution with relative 
residual 4.7e-014

使用矩陣向量乘法函式：

function y = afun(x,n)
y = 4 * x;
y(2:n) = y(2:n) - 2 * x(1:n-1);
y(1:n-1) = y(1:n-1) - 2 * x(2:n);

如同此 minres的輸入：

x1 = minres(@afun,b,tol,maxit,M1,[],n);

Example 2.

使用不一定對稱的矩陣為函式 pcg 的輸入時，結果失敗了：

A = diag([20:-1:1, -1:-1:-20]);
b = sum(A,2);      % The true solution is the vector of all ones.
x = pcg(A,b);      % Errors out at the first iteration.
pcg stopped at iteration 1 without converging to the desired
tolerance 1e-006 because a scalar quantity became too small or too
large to continue computing. 
The iterate returned (number 0) has relative residual 1

然而， minres 可以處理上述的矩陣 A：

x = minres(A,b,1e-6,40);
minres converged at iteration 39 to a solution with relative 
residual 1.3e-007

See Also

bicg, bicgstab, cgs, cholinc, gmres, lsqr, pcg, qmr, symmlq

@ (function handle), / (slash),

References

[1] Barrett, R., M. Berry, T. F. Chan, et al., Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods, SIAM, Philadelphia, 1994.

[2] Paige, C. C. and M. A., "Solution of Sparse Indefinite Systems of Linear Equations." SIAM J. Numer. Anal., Vol.12, 1975, pp. 617-629.

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