MATLAB Function Reference

Arithmetic Operators + - * / \ ^ '

矩陣和陣列的運算

Syntax

A+B 
A-B
A*B     A.*B
A/B     A./B
A\B     A.\B
A^B     A.^B
A'      A.'

Description

MATLAB 有兩種不同型態的運算。矩陣運算依線性代數的法則執行。陣列運算則是元素之間一對一的運算。句號字元 (.) 表示將執行陣列運算。然而，矩陣和陣列的加法及減法運算結果是相同的，故字元組合 .+ 和 .- 並不會使用。

+	加法或是正號。A+B 為把 A 及 B 相加。A 和 B 必須有相同的尺寸，除非其中之一為數值。數值可和任何尺寸的矩陣進行加法運算。
-	減法或是負號。A-B 為把 A 減去 B。A 和 B 必須有相同的尺寸，除非其中之一為數值。數值可和任何尺寸的矩陣進行減法運算。
*	矩陣乘法。C = A*B 為矩陣 A 和 B 的線性代數乘法。更精確的說法， A 和 B 皆不為單一數值。A 的欄數必須等於 B 的列數。數值可和任何尺寸的矩陣相乘。
.*	陣列乘法。A.*B 為陣列 A 和 B 之間元素對元素的乘法。A 和 B 必須有相同的尺寸，除非其中之一為數值。
/	斜線或矩陣右除法。B/A 相當於 B*inv(A)。更精確地說，B/A = (A'\B')'。可參考 \。
./	陣列右除法。A./B 產生元素為 A(i,j)/B(i,j) 的矩陣。A 和 B 必須有相同的尺寸，除非其中之一為數值。
\	反斜線或矩陣左除法。若 A 為正方矩陣，A\B 則等同於 inv(A)*B。若 A 為 n*n 的矩陣而 B 為含有 n 個元件的行向量，或是有如此數欄的矩陣，則 X = A\B 為方程式 AX = B 經高斯消去法所得到的解（可參考 "Algorithm" 以得到更詳細的資訊）。
	若 A 為一 m*n 的矩陣而 m ~= n 且 B 為一含有 m 個元件的行向量，或是有如此數欄的矩陣，則 X = A\B 為等式 AX = B 的最近距離解。有效的行列，即 A 中的 k，依 QR 分解來定義（可參考 "Algorithm" 以得到詳細的資訊）。解 X 至多每一欄有 k 個非零的元件。若 k < n，則通常所得到結果不等於 pinv(A)*B，此即為最小距離的解，也就是 ||X||。
.\	陣列左除法。A.\B 產生元素為 B(i,j)/A(i,j) 的矩陣。A 和 B 必須有相同的尺寸，除非其中之一為數值。
^	矩陣乘冪。X^p 為 X 的 p 次方，p 為一數值。若 p 為正整數，則乘慕則是重覆 p 次的乘法。若為負數，X 為先經過反轉。若 p 為其他值，則計算將會涉入特徵值（eigenvalues）及特徵向量（eigenvectors），也就是若 [V,D] = eig(X)，則 X^p = V*D.^p/V。
	若 x 為一數值而 P 為一矩陣，x^P 為 x 利用特徵值及特徵向量提升至矩陣乘冪 P。X^P，其中 X 和 P 若皆為矩陣，則會有錯誤。
.^	陣列的乘冪。A.^B 產生元素為 A(i,j) 的 B(i,j) 次方之矩陣。A 和 B 必須有相同的尺寸，除非其中之一為數值。
'	矩陣轉置。A' 為線性代數的轉置。對於複數矩陣，則為複數共軛轉置。
.'	陣列轉置。A.' 為 A 的陣列轉置。對於複數矩陣，則不會涉入共軛轉置。

Remarks

運算元和 M 檔案有相同的函式，列於下表：

二元加法	A+B	plus(A,B)
一元正號	+A	uplus(A)
二元減法	A-B	minus(A,B)
一元負號	-A	uminus(A)
矩陣乘法	A*B	mtimes(A,B)
陣列乘法	A.*B	times(A,B)
矩陣右除法	A/B	mrdivide(A,B)
陣列右除法	A./B	rdivide(A,B)
矩陣左除法	A\B	mldivide(A,B)
陣列左除法	A.\B	ldivide(A,B)
矩陣乘冪	A^B	mpower(A,B)
陣列乘冪	A.^B	power(A,B)
複數轉置	A'	ctranspose(A)
矩陣轉置	A.'	transpose(A)

Examples

以下有兩個向量，而不同的矩陣和陣列運算會導致不同的結果，以 format rat 顯示。

Matrix Operations		Array Operations
x	1 2 3	y	4 5 6
x'	1 2 3	y'	4 5 6
x+y	5 7 9	x-y	-3 -3 -3
x + 2	3 4 5	x-2	-1 0 1
x * y	錯誤	x.*y	4 10 18
x'*y	32	x'.*y	錯誤
x*y'	4 5 6 8 10 12 12 15 18	x.*y'	錯誤
x*2	2 4 6	x.*2	2 4 6
x\y	16/7	x.\y	4 5/2 2
2\x	1/2 1 3/2	2./x	2 1 2/3
x/y	0 0 1/6 0 0 1/3 0 0 1/2	x./y	1/4 2/5 1/2
x/2	1/2 1 3/2	x./2	1/2 1 3/2
x^y	錯誤	x.^y	1 32 729
x^2	錯誤	x.^2	1 4 9
2^x	錯誤	2.^x	2 4 8
(x+i*y)'	1 - 4i 2 - 5i 3 - 6i
(x+i*y).'	1 + 4i 2 + 5i 3 + 6i

Algorithm

用來解大量線性方程式 X = A\B 及 X = B/A 的演算法是根據係數矩陣 A 的結構。

• 若 A 為一三角矩陣或排列的三角矩陣，則 X 可經由交換反減演算法（permuted backsubstitution algorithm）很快地計算出結果。檢查其三角性質對全矩陣而言即檢查其零的元素，而對稀疏矩陣則是接受其稀疏資料結構。大多數非三角的矩陣都能立即檢測出來，所以檢測幾乎不花時間。
• 若 A 為對稱或是 Hermitian，並有正向對角元素，則會使用 Cholesky 消去法（參考 chol）。若 A 為正向定義，則 Cholesky 消去法可成功並只需一般消去法的一半時間即可完成。非正向定義的矩陣通常僅需很短的時間檢測。若為成功，則 Cholesky 消去法為

  A = R'*R
  

R 為上三角矩陣。X 經由解兩個三角矩陣計算出來。

X = R\(R'\B)

若 A 為稀疏矩陣，則最小對稱層次的先序（preordering）將被套用（參考 symmmd 及 spparms）。演算法為：

perm = symmmd(A);         % Symmetric minimum degree reordering
R = chol(A(perm,perm));   % Cholesky factorization
y = R'\B(perm);           % Lower triangular solve
X(perm,:) = R\y;          % Upper triangular solve

• 若 A 為 Hessenberg，則會先轉成上三角矩陣。
• 若 A 為正方矩陣，但不會三角排列矩陣，或是不為有正元素的 Hermitian，或是經 Cholesky 消去法而失敗，則一般三角消去法將會經由高斯消去法來計算（參考 lu）。結果為

  A = L*U
  

L 為下三角矩陣而 U 為上三角矩陣。X 經由解兩個排列三角矩陣而計算得知。

X = U\(L\B)

若 A 為稀疏矩陣，則非對稱最小層次的先序將被適用（參考 colmmd 及 spparms）。演算法為

perm = colmmd(A);          % Column minimum degree ordering
[L,U,P] = lu(A(:,perm));   % Cholesky factorization
Y = L\(P*B);               % Lower triangular solve
X(perm,:) = U\Y;           % Upper triangular solve

• 若 A 不為正方但為全矩陣，則 Householder 反則會被用來計算垂直三角分解。

  A*P = Q*R
  

P 為一排列矩陣，Q 為一直角矩陣，而 R 為上三角矩陣（參考 qr）。最短距離解 X 經由以下計算得知：

X = P*(R\(Q'*B)

• 若 A 不為正方或稀疏矩陣，則 MATLAB 計算最矩距離的解將使用 A 的稀疏 qr 分解法。

注意    若 A 不為正方、稀疏或複數矩陣，反斜線並不會對其執行。

MATLAB 使用 LAPACK 程序計算不同的全矩陣分解：

矩陣	實數	複數
全矩陣，對稱 (Hermitian) 正向定義	DLANGE, DPOTRF, DPOTRS, DPOCON	ZLANGE, ZPOTRF, ZPOTRS ZPOCON
全矩陣，一般的形式	DLANGE, DGESV, DGECON	ZLANGE, ZGESV, ZGECON
全為非正方	DGEQPF, DORMQR, DTRTRS	ZGEQPF, ZORMQR, ZTRTRS
其他的狀況（三角及 Hessenberg）MATLAB 並不使用 LAPACK。

Diagnostics

對於矩陣除法，若一正方 A 為單數：

Warning: Matrix is singular to working precision.

對於陣列元素除法，若除數的元素有零：

Warning: Divide by zero.

矩陣除法回傳一矩陣其每個元素都設為 Inf；元素除法產生 NaNs 或 Infs。

若反轉找得到，但並不確實：

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.
    Results may be inaccurate.  RCOND = xxx

對於矩陣除法，若非正方矩陣 A 為行列缺陷（rank deficient）：

Warning: Rank deficient, rank = xxx tol = xxx

See Also

det, inv, lu, orth, permute, ipermute, qr, rref

References

[1]  Anderson, E., Z. Bai, C. Bischof, S. Blackford, J. Demmel, J. Dongarra, J. Du Croz, A. Greenbaum, S. Hammarling, A. McKenney, and D. Sorensen, LAPACK User's Guide, Third Edition, SIAM, Philadelphia, 1999.

Reference

Relational Operators < > <= >= == ~=