MATLAB Function Reference

bicgstab

雙共軛梯度平衡（BiConjugate Gradients Stabilized）法

Syntax

x = bicgstab(A,b)
bicgstab(A,b,tol)
bicgstab(A,b,tol,maxit)
bicgstab(A,b,tol,maxit,M)
bicgstab(A,b,tol,maxit,M1,M2)
bicgstab(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)
bicgstab(afun,b,tol,maxit,m1fun,m2fun,x0,p1,p2,...)
[x,flag] = bicgstab(A,b,...)
[x,flag,relres] = bicgstab(A,b,...)
[x,flag,relres,iter] = bicgstab(A,b,...)
[x,flag,relres,iter,resvec] = bicgstab(A,b,...)

Description

x = bicgstab(A,b) 解線性方程式 A*x = b 的 x。A 為 n*n 的係數矩陣而行向量 b 的長度也必須為 n。A 可為函數 afun 且 afun(x) 回傳 A*x。

若 bicgstab 收歛，相關訊息將顯示出來。若 bicgstab 經過最大次數的重覆或任何理由被停止以致於沒有收歛，將會列印出一警告訊息顯示相關剩餘 norm(b-A*x)/norm(b)，而該作法下的重覆數字也將停止。

bicgstab(A,b,tol) 定義方法的誤差。若 tol 為 []，則 bicgstab 使用預設值 1e-6。

bicgstab(A,b,tol,maxit) 定義最大重覆次數。若 maxit 為 []，則 bicgstab 使用預設值 min(n,20)。

bicgstab(A,b,tol,maxit,M) 及 bicgstab(A,b,tol,maxit,M1,M2) 使用先決條件 M 或 M = M1*M2 並有效地解方程式 inv(M)*A*x = inv(M)*b 的 x。若 M 為 []，則 bicgstab 不使用任何先決控制條件。M 可為函式 mfun 其可回傳 M\x。

bicgstab(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0) 定義初始的推測。若 x0 為 []，則 bicgstab 使用預設值。即全為零的向量。

bicgstab(afun,b,tol,maxit,m1fun,m2fun,x0,p1,p2,...) 傳送參數 p1,p2,... 至函式 afun(x,p1,p2,...), m1fun(x,p1,p2,...), 和 m2fun(x,p1,p2,...)。

[x,flag] = bicgstab(A,b,...) 亦回傳收歛旗標。

旗標	收歛性
0	bicgstab 在 maxit 次內收歛至期望的誤差 tol。
1	bicgstab 重覆 maxit 次但並沒有收歛。
2	先決條件 M 不夠完善。
3	bicgstab 沉滯（stagnated）。（兩次連續的重覆視為相同）。
4	經 bicgstab 計算的數值變得太小或太大以致於沒辦法繼續做計算。

當 flag 不為 0 時，解 x 回傳經由所有重覆次數的最小基準餘數（minimal norm residual）。若有定義 flag 的輸出，則不會顯示任何訊息。

[x,flag,relres] = bicgstab(A,b,...) 亦回傳相關剩餘 norm(b-A*x)/norm(b)。若 flag 為 0, relres <= tol。

[x,flag,relres,iter] = bicgstab(A,b,...) 亦回傳 x 計算時的重覆次數，即 0 <= iter <= maxit。iter 可為整數再加上 0.5，以表示經過半次重覆時的收歛。

[x,flag,relres,iter,resvec] = bicgstab(A,b,...) 亦回傳在每一次重覆的剩餘基準估計向量，包括 norm(b-A*x0)。

Example

範例 1

A = gallery('wilk',21);  
b = sum(A,2);
tol = 1e-12;  
maxit = 15; 
M1 = diag([10:-1:1 1 1:10]);

x = bicgstab(A,b,tol,maxit,M1,[],[]);
bicgstab converged at iteration 12.5 to a solution with relative
residual 1.2e-014

另外選擇使用矩陣向量乘法的函式

function y = afun(x,n)
y = [0; 
     x(1:n-1)] + [((n-1)/2:-1:0)'; 
     (1:(n-1)/2)'] .*x + [x(2:n); 
     0];

及先決反解（preconditioner backsolve）函式

function y = mfun(r,n)
y = r ./ [((n-1)/2:-1:1)'; 1; (1:(n-1)/2)'];

如同 bicgstab 的輸入

x1 = bicgstab(@afun,b,tol,maxit,@mfun,[],[],21);

注意 afun 和 mfun 皆必須接收 bicgstab 額外的輸入 n=21。

範例 2

load west0479;
A = west0479;
b = sum(A,2);
[x,flag] = bicgstab(A,b)

flag 為 1 因為 bicgstab 經預設的 20 次重覆後沒有收歛。

[L1,U1] = luinc(A,1e-5);
[x1,flag1] = bicgstab(A,b,1e-6,20,L1,U1)

flag1 為 2 因為上三角 U1 在其對角線有一個零。此方法在第一次重覆去使用反斜線解方程式 U1*y = r 時會失敗。

[L2,U2] = luinc(A,1e-6);
[x2,flag2,relres2,iter2,resvec2] = bicgstab(A,b,1e-15,10,L2,U2)

flag2 為 0 因為當以微誤差為 1e-6 的前提下使用不完全 LU 分解在第六次重覆（iter2 的值）時 bicgstab 收歛值誤差值  3.1757e-016 （relres2 的值）。resvec2(1) = norm(b) 且 resvec2(13) = norm(b-A*x2)。可藉由繪製 bicgstab 每一半點的相關剩餘及每一次重覆結束的過程了解。

semilogy(0:0.5:iter2,resvec2/norm(b),'-o')
xlabel('iteration number')
ylabel('relative residual')

See Also

bicg, cgs, gmres, lsqr, luinc, minres, pcg, qmr, symmlq

@ (function handle), \ (backslash)

References

[1]  Barrett, R., M. Berry, T. F. Chan, et al., Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods, SIAM, Philadelphia, 1994.

[2]  van der Vorst, H. A., "BI-CGSTAB: A fast and smoothly converging variant of BI-CG for the solution of nonsymmetric linear systems", SIAM J. Sci. Stat. Comput., March 1992,Vol. 13, No. 2, pp. 631-644.

bicg

bin2dec