gsvd (MATLAB Function Reference)

(translator=Kuo, ChineseSource=Kuo-20020523-7\gsvd.html, EnglishSource=c:\matlabr12\help\techdoc\ref\gsvd.html)

廣義的奇異值分解(Generalized singular value decomposition)

Syntax

[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B)
[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B,0)
sigma = gsvd(A,B)

Description

[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B) 傳回么正矩陣 U 與 V，方陣 X(通常是)，和非負的對角矩陣 C 與 S 使得

A = U*C*X'
B = V*S*X'
C'*C + S'*S = I

A 與 B 的行數一定要一樣，但是列數可能會不一樣。若 A 是 m-by-p 和 B 是 n-by-p，則 U 是 m-by-m， V 是 n-by-n 且 X 是 p-by-q ， q = min(m+n,p)。

sigma = gsvd(A,B) 傳回廣義奇異值的向量， sqrt(diag(C'*C)./diag(S'*S))。

S 的非零元素一定在它的主對角線上。若 m >= p 則 C 中的非零元素也會在它的主對角線上。但要是 m < p，則 C 中的非零對角線是在 diag(C,p-m)。這樣可以讓對角線上的元素，廣義的奇異值，呈遞減的排列。

gsvd(A,B,0)，有三個輸入的參數，不是 m 就是 n >= p。會產生 "economy-sized" 的分解，也就是 U 與 V 最多只有 p 行， C 與 S 最多只有 p 列。廣義的奇異值為 diag(C)./diag(S)。

當 B 為一方陣且非奇異時，廣義奇異值， gsvd(A,B)，會和一般的奇異值相等， svd(A/B) ，但是輸入的參數順序不同 ( gsvd(B,A) )。

在算 gsvd 時，與個別的 A 或 B 的 rank 其實沒什麼關聯性。矩陣 X 有 full rank 若且為若矩陣 [A;B] 有 full rank。事實上， svd(X) 與 cond(X) 相等於 svd([A;B]) 與 cond([A;B])。而其他像 G. Golub 與 C. Van Loan [1]，則需要 null(A) 和 null(B) 不重疊且用 inv(X) 或 inv(X') 置換 X 。

另外，有一點需要注意，就是當 null(A) 與 null(B) 重疊時， C 與 S 中的非零元素不是唯一被決定的。

Examples

Example 1. 以下的矩陣的列數至少都跟行數一樣多。

A = reshape(1:15,5,3)
B = magic(3)
A =
         1     6    11
         2     7    12
         3     8    13
         4     9    14
         5    10    15
B =
         8     1     6
         3     5     7
         4     9     2

這個指令

[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B)

會產生一個 5-by-5 的正交矩陣 U，一個 3-by-3 的正交矩陣 V，和一個 3-by-3 的非奇異矩陣X，

X =
        2.8284   -9.3761   -6.9346
       -5.6569   -8.3071  -18.3301
        2.8284   -7.2381  -29.7256

且

C =
        0.0000         0         0
             0    0.3155         0
             0         0    0.9807
             0         0         0
             0         0         0
S =
        1.0000         0         0
             0    0.9489         0
             0         0    0.1957

因為 A 的 rank 為有缺陷的(deficient)，所以 C 的對角線上第一個元素為零。

Economy sized 的分解如下

[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B,0)

會產生一個 5-by-3 的矩陣 U 和一個 3-by-3 的矩陣 C。

U =
        0.5700   -0.6457   -0.4279
       -0.7455   -0.3296   -0.4375
       -0.1702   -0.0135   -0.4470
        0.2966    0.3026   -0.4566
        0.0490    0.6187   -0.4661

C =
        0.0000         0         0
             0    0.3155         0
             0         0    0.9807

而其他三個矩陣， V， X，與 S 與前面作 full decomposition 的結果相同。

廣義的奇異值就是 C 與 S 對角線元素的比值。

sigma = gsvd(A,B)
sigma =
        0.0000
        0.3325
        5.0123

這些值等於一般奇異值相同，但順序不一樣

svd(A/B)
ans =
        5.0123
        0.3325
        0.0000

Example 2. 以下的矩陣的行數至少都跟列數一樣多。

A = reshape(1:15,3,5)
B = magic(5)
A =

           1     4     7    10    13
         2     5     8    11    14
         3     6     9    12    15
B =

        17    24     1     8    15
        23     5     7    14    16
         4     6    13    20    22
        10    12    19    21     3
        11    18    25     2     9

這個指令

[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B)

會產生一個 3-by-3 的正交矩陣 U，一個 5-by-5 的正交矩陣 V，一個 5-by-5 的非奇異矩陣 X 和

C =
             0         0    0.0000         0         0
             0         0         0    0.0439         0
             0         0         0         0    0.7432
S =
        1.0000         0         0         0         0
             0    1.0000         0         0         0
             0         0    1.0000         0         0
             0         0         0    0.9990         0
             0         0         0         0    0.6690

在這個情況下，C 的非零對角線為 diag(C,2)。廣義的奇異值包含三個零。

sigma = gsvd(A,B)
sigma =
             0
             0
        0.0000
        0.0439
        1.1109

若將 A 和 B 交換參數的位置，則會產生兩個無窮大的值。

gsvd(B,A)
ans =
      1.0e+016 *

        0.0000
        0.0000
        4.4126
           Inf
           Inf

Algorithm

廣義的奇異值分解是用 C-S 分解，可參考 [1]。C-S 分解是在 gsvd M-file 中的一個副程式。

Diagnostics

唯一的警告或錯誤訊息，是當輸入的兩個參數中行數不同，才會造成。

See Also

qr， svd

References

[1] Golub， Gene H. and Charles Van Loan， Matrix Computations， Third Edition， Johns Hopkins University Press， Baltimore， 1996

griddatan gtext