eigs (MATLAB Function Reference)

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找尋正方稀疏矩陣的特徵值和特徵向量

Syntax

d = eigs(A)
d = eigs(A,B)
d = eigs(A,k)
d = eigs(A,B,k)
d = eigs(A,k,sigma)
d = eigs(A,B,k,sigma)
d = eigs(A,k,sigma,options)
d = eigs(A,B,k,sigma,options)
d = eigs(Afun,n)
d = eigs(Afun,n,B)
d = eigs(Afun,n,k)
d = eigs(Afun,n,B,k)
d = eigs(Afun,n,k,sigma)
d = eigs(Afun,n,B,k,sigma)
d = eigs(Afun,n,k,sigma,options)
d = eigs(Afun,n,B,k,sigma,options)
d = eigs(Afun,n,k,sigma,options,p1,p2...)
d = eigs(Afun,n,B,k,sigma,options,p1,p2...)
[V,D] = eigs(A,...)
[V,D] = eigs(Afun,n,...)
[V,D,flag] = eigs(A,...)
[V,D,flag] = eigs(Afun,n,...)

Description

d = eigs(A) 回傳一向量其元素為 A 六個較大的特徵值。

[V,D] = eigs(A) 回傳一對角線矩陣 D 其含有 A 的六個較大的特徵值其一矩陣 V 其欄為對應的特徵向量。

[V,D,flag] = eigs(A) 亦回傳收歛旗標。若 flag 為 0 則所有特徵值均收歛；否則並不是所有皆為收歛。

eigs(Afun,n) 接受函數 Afun 以取代矩陣 A。y = Afun(x) 應該回傳 y = A*x，其中 x 為一 n*1 的向量，而 n 即為 A 的尺寸。矩陣 A 藉由 Afun 來表示而且假設為實數且非對稱性。在所有呼叫的序列中，eigs(A,...) 可被 eigs(Afun,n,...) 取代。

eigs(A,B) 解廣義特徵值問題 A*V == B*V*D。B 必須為對稱（或 Hermitian）正向定義且其尺寸等同於 A。eigs(A,[],...) 表示標準的特徵值問題 A*V == V*D。

eigs(A,k) and eigs(A,B,k) 回傳前 k 個大的特徵值。

eigs(A,k,sigma) and eigs(A,B,k,sigma) 根據 sigma 回傳 k 個特徵值，其可為下列值之一：

scalar
特徵值近似於 sigma。若 A 為一函數，Afun 回傳 A\x（標準）或 (A-sigma*B)\x（廣義）。注意，B 僅必須為對稱（Hermitian）正向不完全定義

'lm'
最大等級（預設）

'sm'
最小等級

對於實數對稱問題，下列亦為選項：

'la'
最大代數（在 MATLAB 5 中為 'lr'）
'sa'
最小代數（在 MATLAB 5 中為 'sr'）

'be'
皆結束

針對非對稱性及複數問題，下列亦為選項：

'lr'
最大實數部份

'sr'
最小實數部份

'li'
最大虛數部份

'si'
最小虛數部份

scalar	特徵值近似於 `sigma`。若 `A` 為一函數，`Afun` 回傳 `A\x`（標準）或 `(A-sigma*B)\x`（廣義）。注意，`B` 僅必須為對稱（Hermitian）正向不完全定義
`'lm'`	最大等級（預設）
`'sm'`	最小等級
對於實數對稱問題，下列亦為選項：
`'la'`	最大代數（在 MATLAB 5 中為 `'lr'`）
`'sa'`	最小代數（在 MATLAB 5 中為 `'sr'`）
`'be'`	皆結束
針對非對稱性及複數問題，下列亦為選項：
`'lr'`	最大實數部份
`'sr'`	最小實數部份
`'li'`	最大虛數部份
`'si'`	最小虛數部份

注意 MATLAB 5 的 sigma = 'be' 是針對非對稱及複數問題執行。

eigs(A,K,sigma,opts) 及 eigs(A,B,k,sigma,opts) 定義選項的結構：

參數
敘述
預設值

options.issym
1 若 A 或 A-sigma*B 以 Afun 表示為對稱，否則為 0。
0

options.isreal
1 若 A 或 A-sigma*B 以 Afun 表示為實數，否則為 0。
1

options.tol
收歛：abs(lamda_comp-lamda_true) < tol*abs(lamda_comp)。
eps

options.maxit
最大次數的重覆。
300

options.p
基礎向量的數目。建議 p >= 2k（p >= 2k+1 實數非對稱性）。注意：p 對於實數對稱必須滿足 k < p <= n，否則為 k+1 < p <= n。
2k

options.v0
開始向量。
Randomly generated by ARPACK

options.disp
特徵資訊顯示層級。
1

options.cholB
1 若 B 為其 Cholesky 因子 chol(B)，否則為 0。
0

options.permB
排列向量 permB 若稀疏矩陣 B 為 chol(B(permB,permB))。
1:N

參數	敘述	預設值
`options.issym`	`1` 若 `A` 或 `A-sigma*B` 以 `Afun` 表示為對稱，否則為 `0`。	`0`
`options.isreal`	`1` 若 `A` 或 `A-sigma*B` 以 `Afun` 表示為實數，否則為 `0`。	`1`
`options.tol`	收歛：`abs(lamda_comp-lamda_true) < tol*abs(lamda_comp)`。	`eps`
`options.maxit`	最大次數的重覆。	`300`
`options.p`	基礎向量的數目。建議 `p >= 2k`（`p >= 2k+1` 實數非對稱性）。注意：`p` 對於實數對稱必須滿足 `k < p <= n`，否則為 `k+1 < p <= n。`	`2k`
`options.v0`	開始向量。	`Randomly generated by ARPACK`
`options.disp`	特徵資訊顯示層級。	`1`
`options.cholB`	`1` 若 `B` 為其 Cholesky 因子 `chol(B)`，否則為 `0。`	`0`
`options.permB`	排列向量 `permB` 若稀疏矩陣 `B` 為 `chol(B(permB,permB))`。	`1:N`

注意 MATLAB 5 選項 stagtol 和 cheb 不再允許。

eigs(Afun,n,k,sigma,opts,p1,p2,...) 及 eigs(Afun,n,B,k,sigma,opts,p1,p2,...) 提供額外的參數其傳送至 Afun(x,p1,p2,...)。

Remarks

d = eigs(A,k) 並不是下列式子的代替

d = eig(full(A))
d = sort(d)
d = d(end-k+1:end)

但卻最適合用在大型稀疏矩陣。若問題牽扯到記憶體，則其可用 eig(full(A)) 以達到較快的運算。

Algorithm

eigs 提供反連結，其需要 Fortran 函式庫 ARPACK 中的程序 DSAUPD, DSEUPD, DNAUPD, DNEUPD, ZNAUPD, 及 ZNEUPD 的支援。

Examples

範例 1：此範例顯示函數握把的用法。

A = delsq(numgrid('C',15));  
d1 = eigs(A,5,'sm');

同樣地，若 dnRk 為下列一行的函數：

function y = dnRk(x,R,k)
y = (delsq(numgrid(R,k))) * x;

則將傳送 dnRk 額外的參數 'C' 和 15 至 eigs。

n = size(A,1);  
opts.issym = 1;  
d2 = eigs(@dnRk,n,5,'sm',opts,'C',15);

範例 2：west0479 為一實數 479*479 稀疏矩陣其含有實數及共軛複數的特微值。eig 計算所有 479 個特徵值，並選擇最大的特徵值。

此平面圖顯示由 eig 和 eigs 計算出來 west0479 其 8 個最大的特徵值。

load west0479
d = eig(full(west0479))
dlm = eigs(west0479,8)
[dum,ind] = sort(abs(d));
plot(dlm,'k+') 
hold on 
plot(d(ind(end-7:end)),'ks') 
hold off 
legend('eigs(west0479,8)','eig(full(west0479))')

範例 3：A = delsq(numgrid('C',30)) 為一尺寸為 632 的對稱正向定義矩陣其特徵值合理地分配在範圍 (0 8) 之間，但有 18 個特徵值重覆於 4。函數 eig 計算所有 632 個特微值。其計算並繪製 A 的前六大及前六小的特徵值：

A = delsq(numgrid('C',30)); 
d = eig(full(A)); 
[dum,ind] = sort(abs(d)); 
dlm = eigs(A); 
dsm = eigs(A,6,'sm');

subplot(2,1,1) 
plot(dlm,'k+') 
hold on 
plot(d(ind(end:-1:end-5)),'ks') 
hold off 
legend('eigs(A)','eig(full(A))',3) 
set(gca,'XLim',[0.5 6.5])

subplot(2,1,2) 
plot(dsm,'k+') 
hold on 
plot(d(ind(1:6)),'ks') 
hold off 
legend('eigs(A,6,''sm'')','eig(full(A))',2) 
set(gca,'XLim',[0.5 6.5])

然而，在 4 重覆的特徵值必須更小心地處理。eigs(A,18,4.0) 計算靠近 4.0 的 18 個特徵值以試著找出 A - 4.0*I 的特徵值。此關係著除法形式 1/(lambda - 4.0)，其中 lambda 為 A 特徵值的近似值。當 lambda 接近 4.0 時，eigs 並沒有接近。必須使用 sigma 靠近但不等於 4 以找出那 18 個特徵值。

sigma = 4 - 1e-6
[V,D] = eigs(A,18,sigma)

平面圖顯示經由 eig 計算的 20 個特徵值其接近 4，由 eigs 計算 18 個特微值其靠近 4 - 1e-6。

See Also

arpackc, eig, svds

References

[1] Lehoucq, R.B. and D.C. Sorensen, "Deflation Techniques for an Implicitly Re-Started Arnoldi Iteration," SIAM J. Matrix Analysis and Applications, Vol. 17, 1996, pp. 789-821.

[2] Lehoucq, R.B., D.C. Sorensen, and C. Yang, ARPACK Users' Guide: Solution of Large-Scale Eigenvalue Problems with Implicitly Restarted Arnoldi Methods, SIAM Publications, Philadelphia, 1998.

[3] Sorensen, D.C., "Implicit Application of Polynomial Filters in a k-Step Arnoldi Method," SIAM J. Matrix Analysis and Applications, Vol. 13, 1992, pp. 357-385.

eig 　 ellipj