eig (MATLAB Function Reference)

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求特徵值和特徵向量

Syntax

d = eig(A)
d = eig(A,B)
[V,D] = eig(A)
[V,D] = eig(A,'nobalance')
[V,D] = eig(A,B)
[V,D] = eig(A,B,flag)

Description

d = eig(A) 傳回矩陣 A 的特徵值。

Note 若 S 是稀疏且對稱矩陣，您可以用 d = eig(S) 來得到 S 的特徵值。而在其他的情況下，若想得到特徵向量，可以用 eigs 來獲得稀疏矩陣的特徵值或特徵向量。

d = eig(A,B) 若 A 與 B 為方陣，則傳回一個包含廣義特徵值的向量。

[V,D] = eig(A) 產生矩陣 A 的特徵值 (D) 和特徵向量 (V) ，使得 A*V = V*D。矩陣 D 稱作矩陣 A 的 canonical form -- 為一個對角矩陣其主對角線上的元素恰為 A 的特徵值。矩陣 V 則稱作 modal matrix-- 其行向量恰為 A 的特徵向量。

對於 eig(A)，特徵向量會標準化成 norm = 1.0。

若 W 是一個矩陣使得 W'*A = D*W'，則 W 的行向量稱作是 A 的 left eigenvectors 。可以使用 [W,D] = eig(A.'); W = conj(W) 來計算 left eigenvectors。

[V,D] = eig(A,'nobalance') 求取特徵值跟特徵向量而不用初始的平衡步驟。一般的情況下，平衡可以增進輸入矩陣的 conditioning ，就能更準確得計算特徵值及特徵向量。然而，若一個矩陣包含值很小的元素(由捨位誤差所造成的)， balancing 會把它們標準化，就像其他元素標準化一樣，而這樣會產生錯誤的特徵向量。設定 nobalance 這個條件可以避免這種情況發生。您可以參考 balance 函式獲得更詳細的資訊。

[V,D] = eig(A,B) 產生一個廣義特徵值構成的對角矩陣 D 和一個全矩陣 V (其行向量會對應至特徵向量使得 A*V = B*V*D)。

[V,D] = eig(A,B,flag) 可以指定計算特徵值和特徵向量的演算法。 flag 可以是以下：

'chol'
用 B 的Cholesky 分解來計算 A 和 B 的廣義特徵值。對於對稱矩陣 (Hermitian) A 和對稱 (Hermitian) 正定矩陣 B 為預設值。

'qz'
不管對稱性， QZ 演算法可以用在非對稱矩陣 (non-Hermitian) A 和 B。

`'chol'`	用 `B` 的Cholesky 分解來計算 `A` 和 `B` 的廣義特徵值。對於對稱矩陣 (Hermitian) `A` 和對稱 (Hermitian) 正定矩陣 `B` 為預設值。
`'qz'`	不管對稱性， QZ 演算法可以用在非對稱矩陣 (non-Hermitian) `A` 和 `B`。

Remarks

求特徵值的問題其實就是解下列等式

是一個 n-by-n 的矩陣，是一個長度為 n 的行向量，為一純量。的 n 個值，滿足上述的等式，稱為 eigenvalues，且其對應到的向量稱為 right eigenvectors。在 MATLAB 中， eig 函式可以求特徵值，跟選擇性的求。

generalized 特徵值問題可以從解下列的等式中求得

和皆為 n-by-n 的矩陣且為一純量。滿足上述等式的稱為 generalized eigenvalues ，其對應的向量稱為 generalized right eigenvectors。

若是非奇異(nonsingular)，解這個等式相當於解標準特徵值的問題

由於可以是奇異(singular)，所以需要用 QZ 演算法來解。

當一個矩陣的特徵值沒有重複時，特徵向量會彼此線性獨立且特徵向量矩陣 V 會 diagonalizes 原本的矩陣 A (也叫相似的轉換)。然而，若一個矩陣有重複的特徵值時，它將不會相似於一個對角矩陣，除非它的特徵向量是線性獨立。若特徵向量不為線性獨立，則稱原本的矩陣為 defective 。即使一個矩陣是 defective，從 eig 所得到的答案仍滿足 A*X = X*D。

Examples

以下的矩陣

B = [ 3     -2      -.9    2*eps
     -2      4       1    -eps
     -eps/4  eps/2  -1     0
     -.5    -.5      .1    1   ];

會有一些元素是經過捨位的。這個例子就是使用 nobalance 屬性來求得正確的特徵向量。

[VB,DB] = eig(B)
B*VB - VB*DB
[VN,DN] = eig(B,'nobalance')
B*VN - VN*DN

Algorithm

MATLAB 會使用 LAPACK 程序來計算特徵值及特徵向量：

Case
Routine

Real symmetric A
DSYEV

Real nonsymmetric A:

With preliminary balance step

DGEEV (with SCLFAC = 2 instead of 8 in DGEBAL)

d = eig(A,'nobalance')

DGEHRD， DHSEQR

[V,D] = eig(A,'nobalance')

DGEHRD， DORGHR， DHSEQR， DTREVC

Hermitian A
ZHEEV

Non-Hermitian A:

With preliminary balance step

ZGEEV (with SCLFAC = 2 instead of 8 in ZGEBAL)

d = eig(A,'nobalance')

ZGEHRD， ZHSEQR

[V,D] = eig(A,'nobalance')

ZGEHRD， ZUNGHR， ZHSEQR， ZTREVC

Real symmetric A，
symmetric positive definite B。
DSYGV

    Special case:
    eig(A,B,'qz') for real A， B    (same as real nonsymmetric A， real
    general B)
DGGEV

Real nonsymmetric A， real general B
DGGEV

Complex Hermitian A，Hermitian positive definite B。
ZHEGV

    Special case:
    eig(A,B,'qz') for complex A or B    (same as complex non-Hermitian A，    complex B)
ZGGEV

Complex non-Hermitian A， complex B
ZGGEV

Case	Routine
Real symmetric `A`	`DSYEV`
Real nonsymmetric `A:`
With preliminary balance step	`DGEEV` (with `SCLFAC = 2` instead of `8` in `DGEBAL`)
`d = eig(A,'nobalance')`	`DGEHRD`， `DHSEQR`
`[V,D] = eig(A,'nobalance')`	`DGEHRD`， `DORGHR`， `DHSEQR`， `DTREVC`
Hermitian `A`	`ZHEEV`
Non-Hermitian `A:`
With preliminary balance step	`ZGEEV` (with `SCLFAC = 2` instead of `8` in `ZGEBAL`)
`d = eig(A,'nobalance')`	`ZGEHRD`， `ZHSEQR`
`[V,D] = eig(A,'nobalance')`	`ZGEHRD`， `ZUNGHR`， `ZHSEQR`， `ZTREVC`
Real symmetric `A`， symmetric positive definite `B`。	`DSYGV`
Special case: `eig(A,B,'qz')` for real `A`， `B` (same as real nonsymmetric `A`， real general `B`)	`DGGEV`
Real nonsymmetric `A`， real general `B`	`DGGEV`
Complex Hermitian `A，`Hermitian positive definite `B`。	`ZHEGV`
Special case: `eig(A,B,'qz')` for complex `A` or `B` (same as complex non-Hermitian `A，` complex `B`)	`ZGGEV`
Complex non-Hermitian `A，` complex `B`	`ZGGEV`

See Also

balance， condeig， eigs， hess， qz， schur

References

[1] Anderson, E., Z. Bai, C. Bischof, S. Blackford, J. Demmel, J. Dongarra, J. Du Croz, A. Greenbaum, S. Hammarling, A. McKenney, and D. Sorensen, LAPACK User's Guide (http://www.netlib.org/lapack/lug/ lapack_lug.html), Third Edition, SIAM, Philadelphia, 1999.

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