MATLAB Function Reference

inv

矩陣反轉

Syntax

Y = inv(X)

Description

Y = inv(X) 傳回矩陣 X 的反矩陣。若 X 不為正矩陣或僅含單一元素，則會顯示出警告。

一般很少用這個函式僅僅計算反矩陣，較常使用在解線性方程式上。
當Ax = b，欲解 x 時，其中一種解法為 x = inv(A)*b。另一種計算時間及準確性都比較好的解法為使用矩陣的除法運算元，即 x = A\b。其所得到的結果即為使用高斯消去法，卻沒有用到矩陣反轉函式的解法。可參考 \ 及 / 以得到更多的資訊。

Examples

以下的例子顯示了使用反矩陣函式 inv(A)*b 和使用較直接解法 A\b 的不同。A 為一隨機產生的 500 * 500 的陣列。而其條件數字（condition number），也就是 cond(A) 為 1.e10，它的基準（norm），即 norm(A)為 1。x 為一長度為 500 的向量。此線性方程組雖然相當有限制，但卻是前後一致的。

在一 300 MHz 的筆記型電腦上運算的結果：

n = 500; 
Q = orth(randn(n,n));
d = logspace(0,-10,n);
A = Q*diag(d)*Q';
x = randn(n,1);
b = A*x;
tic, y = inv(A)*b; toc
err = norm(y-x)
res = norm(A*y-b)

結果為

elapsed_time = 
    1.4320 
err = 
    7.3260e-006 
res = 
    4.7511e-007

若是以下的敘述：

tic, z = A\b, toc
err = norm(z-x)
res = norm(A*z-b)

結果為

elapsed_time = 
    0.6410 
err = 
    7.1209e-006 
res = 
    4.4509e-015

在y = inv(A)*b 所花的時間比 z = A\b 多了將近兩倍半。兩個計算結果的誤差不超過 1.e-6 ，反應了矩陣的條件數字（condition number）。但是將結果放入原先方程式後所餘的空間卻相差的相當大。

這個範例的結果是獨特的。使用 A\b 所花的時間比 inv(A)*b 快了二到三倍的時間，而剩餘的空間根據資料的大小有不同的準確性。

Algorithm

inv 使用 LAPACK 程序計算反矩陣。

矩陣	程序
Real	DLANGE, DGETRF, DGECON, DGETRI
Complex	ZLANGE, ZGETRF, ZGECON, ZGETRI

See Also

det, lu, rref

The arithmetic operators \, /

References

[1]  Anderson, E., Z. Bai, C. Bischof, S. Blackford, J. Demmel, J. Dongarra, J. Du Croz, A. Greenbaum, S. Hammarling, A. McKenney, and D. Sorensen, LAPACK User's Guide, Third Edition, SIAM, Philadelphia, 1999.

intersect

invhilb