MATLAB Function Reference

bvp4c

解常微分等式的兩點臨界值問題(two-point boundary value problems (BVPs))

Syntax

sol = bvp4c(odefun,bcfun,solinit)
sol = bvp4c(odefun,bcfun,solinit,options)
sol = bvp4c(odefun,bcfun,solinit,options,p1,p2...)

Arguments

odefun	計算微分等式 的函數它可以是以下的形式 dydx = odefun(x,y) dydx = odefun(x,y,p1,p2,...) dydx = odefun(x,y,parameters) dydx = odefun(x,y,parameters,p1,p2,...) 其中 x 是對應到 的純量，y 是對應到 的直行向量。parameters 是一個未知參數的向量，而 p1,p2,... 是已知參數。輸出 dydx 是一個直行向量。
bcfun	在臨界值狀態 計算剩餘(residual)的函數。它可以是以下的形式 res = bcfun(ya,yb) res = bcfun(ya,yb,p1,p2,...) res = bcfun(ya,yb,parameters) res = bcfun(ya,yb,parameters,p1,p2,...) 其中 ya 和 yb 是對應到 和 的直行向量。parameters 是未知參數的向量，而 p1,p2,... 是已知參數。輸出 res 是一個直行向量。
solinit	有欄位的結構：
	x	初始 mesh 的 ordered nodes。臨界值狀態被利用在 a = solinit.x(1) 且 b = solinit.x(end)。
	y	解答的初始預測值，而 solinit.y(:,i) 是在點 solinit.x(i) 的解答預測值。
	parameters	選擇性的。對未知參數提供初始預測值的向量。
	這個架構可以有任何名稱，但是欄位名稱必須是 x、y 和 parameters。你可以利用幫手函數 bvpinit 來組織 solinit。詳細情形請看 bvpinit 。
options	選擇性的積分參數。你可以利用 bvpset 函數產生此結構。詳細情形請看 bvpset 。
p1,p2...	選擇性的。解題器傳到 odefun，bcfun 和其他所有使用者定義在 options 中函數的已知參數。

Description

sol = bvp4c(odefun,bcfun,solinit) 對一個常微分等式系統做積分

在 [a,b] 範圍中提供兩點臨界值狀態

bvp4c 解題器也可以找出下面形式問題的未知參數

其中 對應到 parameters。你對 solinit.parameters 中的任何未知參數提供初始預測值 bvp4c。bvp4c 解題器傳回這些未知參數的最終值到 sol.parameters。

bvp4c 產生一個在 [a,b] 間連續且其一次微分也連續的解。用函數 bvpval 和輸出 bvp4c 的 sol 來計算在 [a,b] 間特定點 xint 的解。

yint = bvpval(sol,xint)

由 bvp4c 傳回的結構 sol 有下列四個欄位：

x	bvp4c 選擇的 mesh
y	在 sol.x mesh 點的近似值
yp	在 sol.x mesh 點的近似值
parameters	由 bvp4c 傳回的未知參數值

sol 結構可以有任何名稱，而 bvp4c 產生的欄位 x、y、yp 和 parameters。

sol = bvp4c(odefun,bcfun,solinit,options) 像之前一樣解題器，而預設的積分屬性被 bvpset 函數產生的結構 options 值取代。詳細情形請看 bvpset。

sol = bvp4c(odefun,bcfun,solinit,options,p1,p2...) 傳常數的 已知 參數，p1、p2、...，到 odefun、bcfun，和其他所有使用者定義在 options 的函數。如果沒有選項被設定，則把 options = [] 當作欄位保留。

Examples

Example 1. 臨界值問題可以有多組解，而初始預測值的其中一個目的就是要指出哪一組解是你要的。兩次微分等式

只有兩組解滿足臨界狀態。

先用 bvp4c 解這個問題，微分等式必須用兩個一次 ODEs 的系統表示

這裡的 而 。這個系統有一個要求的形式

函數 和臨界狀態 都被用 MATLAB 寫成函數 twoode 和 twobc。

function dydx = twoode(x,y)
  dydx = [ y(2) 
           -abs(y(1))];

function res = twobc(ya,yb)
  res = [ ya(1) 
          yb(1) + 2];

一個預測架構(guess structure)包含 [0,4] 間五條空間相等的初始格線與一個常數值 和 的預測，以下面的形式產生

solinit = bvpinit(linspace(0,4,5),[1 0]);

這個問題可以用下面的命令解決

sol = bvp4c(@twoode,@twobc,solinit);

數值解答在 100 個相同間距的點算出來，且畫出

y = bvpval(sol,linspace(0,4));
plot(x,y(1,:));

這個問題的其他解可以由以下的初始預測值設定得到

solinit = bvpinit(linspace(0,4,5),[-1 0]);

Example 2. 這個臨界值問題包含未知參數。這個工作就是去計算 Mathieu's equation 的第四個特徵值(eigenvalue) ()

因為有未知參數 ，所以這個二次微分等式必須提供三個臨界狀態

我們可以很方便的使用副函數來安置所有需要被 bvp4c 用到的函數在一個 M-檔。

function mat4bvp

lambda = 15;
solinit = bvpinit(linspace(0,pi,10),@mat4init,lambda);
sol = bvp4c(@mat4ode,@mat4bc,solinit);

fprintf('The fourth eigenvalue is approximately %7.3f.\n',...
        sol.parameters)

xint = linspace(0,pi);
Sxint = bvpval(sol,xint);
plot(xint,Sxint(1,:))
axis([0 pi -1 1.1])
title('Eigenfunction of Mathieu''s equation.') 
xlabel('x')
ylabel('solution y')
% ------------------------------------------------------------
function dydx = mat4ode(x,y,lambda)
q = 5;
dydx = [  y(2)
         -(lambda - 2*q*cos(2*x))*y(1) ];
% ------------------------------------------------------------
function res = mat4bc(ya,yb,lambda)
res = [  ya(2) 
         yb(2) 
        ya(1)-1 ];
% ------------------------------------------------------------
function yinit = mat4init(x)
yinit = [  cos(4*x)
          -4*sin(4*x) ];

微分等式(轉換成一個一次系統)和臨界狀態分別被副函數 mat4ode 和 mat4bc 所描述。因為有未知參數，所以即使某些參數不會用到，這些函數都必須接受三個輸入參數。

預測結構 solinit 是由 bvpinit 產生。 解答的初始預測是以函數 mat4init 提供。我們選擇 因為它滿足臨界狀態且有正確的性質行為(正確的正負號變換次數)。在呼叫 bvpinit時，第三個參數(lambda = 15) 提供一個初始預測值給未知參數 。

在問題被 bvp4c 解決之後，sol.parameters 欄位傳回值 ，而且圖形顯示特徵函數和這個特徵值相關。

Algorithms

bvp4c 是三步驟的 Lobatto IIIa formula 有限積分。組合公式和組合多項式在 [a,b] 間提供一致的四次準確度 C¹-連續解。格線(mesh)選擇和誤差控制都是以連續解的剩餘(residual)為基礎。

See Also

@ (function_handle), bvpget, bvpinit, bvpset, bvpval

References

[1]  Shampine, L.F., M.W. Reichelt, and J. Kierzenka, "Solving Boundary Value Problems for Ordinary Differential Equations in MATLAB with bvp4c," available at ftp://ftp.mathworks.com/pub/doc/papers/bvp/.

builtin

bvpget