MATLAB Function Reference

cholupdate

行列 1 更新至 Cholesky 分解法

Syntax

R1 = cholupdate(R,x)
R1 = cholupdate(R,x,'+')
R1 = cholupdate(R,x,'-')
[R1,p] = cholupdate(R,x,'-')

Description

R1 = cholupdate(R,x) R = chol(A) 為原本對 A 的 Cholesky 分解法，回傳一 A + x*x' 的上三角 Cholesky 因子，x 為適當長度的行向量。cholupdate 僅使用 R 的對角線及上三角部份，下三角部份將被忽略。

R1 = cholupdate(R,x,'+') 等同於 R1 = cholupdate(R,x)。

R1 = cholupdate(R,x,'-') 回傳 A - x*x' 的 Cholesky 因子。當 R 不是一合理的 Cholesky 因子或當 downdated 矩陣不是正向定義且沒有經 Cholesky factorization，則會印出錯誤訊息。

[R1,p] = cholupdate(R,x,'-') 不會回傳錯誤訊息。若 p 為 0，R1 為 A - x*x' 的 Cholesky 因子。若 p 大於 0，R1 為原本 A 的 Cholesky 因子。若 p 為 1，cholupdate 會因為 downdated 矩陣不為正向定義而無法運作。若 p 為 2，cholupdate 會因為 R 的上三角部份不為合理的 Cholesky 因子而無法運作。

Remarks

cholupdate 僅對全矩陣（full matrices）作用。

Example

A = pascal(4)
A =

     1     1     1     1
     1     2     3     4
     1     3     6    10
     1     4    10    20




R = chol(A)
R =

     1     1     1     1
     0     1     2     3
     0     0     1     3
     0     0     0     1
x = [0 0 0 1]';

此稱為行列一更新成 A 既然 rank(x*x') 為 1：

A + x*x' 
ans =

     1     1     1     1
     1     2     3     4
     1     3     6    10
     1     4    10    21

使用 cholupdate 取代運用 R1 = chol(A + x*x') 計算 Cholesky 因子：

R1 = cholupdate(R,x)
R1 =

    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000
         0    1.0000    2.0000    3.0000
         0         0    1.0000    3.0000
         0         0         0    1.4142

而後藉由對 A 中最後一個元素減去 1 來使其沒有正向定義（positive definiteness）。該 downdated 矩陣為：

A - x*x'
ans =

     1     1     1     1
     1     2     3     4
     1     3     6    10
     1     4    10    19

比較 chol 及 cholupdate：

R1 = chol(A-x*x')
??? Error using ==> chol
Matrix must be positive definite.
R1 = cholupdate(R,x,'-')
??? Error using ==> cholupdate
Downdated matrix must be positive definite.

然而，從 A 的最後一個元素減去 0.5 產生一正向定義矩陣，我們可使用 cholupdate 計算其 Cholesky 因子：

x = [0 0 0 1/sqrt(2)]';
R1 = cholupdate(R,x,'-') 
R1 =
    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000
         0    1.0000    2.0000    3.0000
         0         0    1.0000    3.0000
         0         0         0    0.7071

Algorithm

cholupdate 的演算法為使用 LINPACK 子程序 ZCHUD 及 ZCHDD。cholupdate 用於計算新的 Cholesky 因子，為一種 的演算法，並用此方法簡易地更新已存在的因子為一種 的演算法。

References

Dongarra, J.J., J.R. Bunch, C.B. Moler, and G.W. Stewart, LINPACK Users' Guide, SIAM, Philadelphia, 1979.

See Also

chol, qrupdate

cholinc

cla