MATLAB Function Reference

rat, rats

近似的有理分數值

Syntax

[N,D] = rat(X)
[N,D] = rat(X,tol)
rat(...)
S = rats(X,strlen)
S = rats(X)

Description

雖然所有的浮點數都是有理數，不過有時候我們會想以更簡單的有理數表達它們，分子和分母都是小整數的分數。rat 函式就是試著做這件事。有理的近似值經由連續的化簡分數產生出來。rats 函數會呼叫 rat 函數，然後回傳一個字串。

[N,D] = rat(X) 傳回 N 陣列和 D 陣列使得 N./D 逼近 X 且誤差小於預設值， 1.e-6*norm(X(:),1) 。

[N,D] = rat(X,tol) 傳回 N./D 逼近 X 且誤差在 tol 以下。

rat(X), 在沒有輸出的參數時，只是顯示連續的分數。

S = rats(X,strlen) 傳回一個包含元素 X 的簡單有理近似值之字串。當配置的空間不夠時，會以星號(*)來表示相較於 X 其他元素不可忽略的元素。 strlen 是每個 rats 函數傳回字串元素的長度。預設值是 strlen = 13 ，在空間是 78 時允許存 6 個元素。

S = rats(X) 傳回和 format rat 一樣的結果。

Examples

一開始，向下面的陳述式

 s = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7

產生

 s =
    0.7595

然而，經由

 format rat

或

 rats(s)

印出來的結果會是

 s = 
    319/420

這是一個簡單的有理數。分母是 420 ，原先式子分母的最小公倍數。 即使 s 是以一個二元浮點數存在電腦內部，不過有理式可以被重建。

看有理近似值是如何產生的， rat(s) 陳述式

產生

 1 + 1/(-4 + 1/(-6 + 1/(-3 + 1/(-5))))

下面的陳述式

 [n,d] = rat(s)

產生

n = 319, d = 420

數學上的 不是一個有理數，但是在 MATLAB 裡， pi 是一個有理數的近似值。 pi 是一個大整數和 2⁵² 的比值：

 14148475504056880/4503599627370496

然而，上式不是一個簡單的有理數。以 format rat 或 rats(pi) 計算出來的 pi 是

 355/113

這個近似值在歐幾里得的時代就已經被知道了。它的十進位表示法是

 3.14159292035398

而這個 pi 值和之前七個字元表示的 pi (355/113)相同。陳述式

 rat(pi)

產生

 3 + 1/(7 + 1/(16))

它顯示 355/113 是如何得到的，更簡單的近似值 22/7 是從此連續分數的前兩項得到的。

Algorithm

rat(X) 函數經由下面形式的連續分數逼近 X 的每一個元素：

d's 是經由不斷地拿掉整數部份，和取分數部份的倒數得到的。近似值的正確度與分數項的個數成次方增加，而當X = sqrt(2) 時會最差。對於 x = sqrt(2)， k 項的誤差大約是 2.68*(.173)^k ，所以每一個增加的項會增加不到十分之一的正確度。它需要 21 項來得到全部的浮點正確度。

See Also

format

rank

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