MATLAB Function Reference

qrupdate

將行列 1（Rank 1）更新至 QR 分解

Syntax

[Q1,R1] = qrupdate(Q,R,u,v)

Description

[Q1,R1] = qrupdate(Q,R,u,v) 當 [Q,R] = qr(A) 為原先對 A 的 QR 分解，回傳 A + u*v' 的 QR 分解， u 和 v 為適當長度的行向量。

Remarks

qrupdate 僅對全矩陣（full matrices）作用。

Examples

矩陣

mu = sqrt(eps)

mu =

   1.4901e-08

A = [ones(1,4); mu*eye(4)];

經由 QR 分解後：

 [Q,R] = qr(A);

如所預料的，R 為上三角矩陣。

R =

   -1.0000   -1.0000   -1.0000   -1.0000
         0    0.0000    0.0000    0.0000
         0         0    0.0000    0.0000
         0         0         0    0.0000
         0         0         0         0

在此狀況中，上三角矩陣 R，不包括第一列，依序為 sqrt(eps)。

考慮該更新的向量

 u = [-1 0 0 0 0]'; v = ones(4,1);

取代計算一般的 QR 分解並更新 A

[QT,RT] = qr(A + u*v')

QT =

     0     0     0     0     1
    -1     0     0     0     0
     0    -1     0     0     0
     0     0    -1     0     0
     0     0     0    -1     0

RT =

  1.0e-007 *

   -0.1490         0         0         0
         0   -0.1490         0         0
         0         0   -0.1490         0
         0         0         0   -0.1490
         0         0         0         0

也可使用 qrupdate。

[Q1,R1] = qrupdate(Q,R,u,v)

Q1 =

   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000    1.0000
    1.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000    0.0000
    0.0000    1.0000   -0.0000   -0.0000    0.0000
    0.0000    0.0000    1.0000   -0.0000    0.0000
   -0.0000   -0.0000   -0.0000    1.0000    0.0000

R1 =

   1.0e-007 *
    0.1490    0.0000    0.0000    0.0000
         0    0.1490    0.0000    0.0000
         0         0    0.1490    0.0000
         0         0         0    0.1490
         0         0         0         0

注意以上兩項分解皆為正確，即使他們的方法不同。

Algorithm

qrupdate 使用的演算法在 Matrix Computations（作者為 Golub 及 van Loan）第三版的 12.5.1 節，若我們取 N = max(m,n)，則使用一新的 演算法做 QR 分解，藉由此方法簡易地更新已存在的因子為 演算法。

References

Golub, Gene H. and Charles Van Loan, Matrix Computations, Third Edition, Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1996

See Also

cholupdate, qr

qrinsert

quad, quad8