除此之外，我們亦可利用變形法（Transformation），將一數學模型轉換成只包含線性參數的模型。例如，假設一模型為： $$ y=ae^{bx} $$
取自然對數，可得
$$ \ln y = \ln a + bx $$此時，$\ln a$ 及 $b$ 變成線性參數，我們可用“最小平方法”找出其值，請見下列使用變形法的範例：
在上述圖形中，第一個小圖是 $\ln y$ 對 $x$ 的作圖，而第二個小則是 $y$ 對 $x$ 的作圖。請特別注意，經由變形法之後，此最小平方法所得到的最小總平方誤差是 $$ E'=\sum_{i=1}^m (\ln y_i - \ln a - bx_i)^2 $$
而不是原模型的總平方誤差： $$ E=\sum_{i=1}^m (y_i - ae^{bx_i})^2 $$
通常 $E'$ 為最小值時，$E$ 不一定是最小值，但通常亦離最小值亦不遠矣！若要精益求精，可再用 fminsearch 求取 $E$ 的最小值，並以（變形後）最小平方法得到的 a 及 b 為搜尋的起點，請見下列範例：
由上述範例可以看出，我們可以先使用變形法，先找出大略的參數值，然後再用 fminsearch 來對誤差平方和進行最小化，因此得到的誤差平方和，會比前一個範例（只用變形法）還要小。（當然，在這個範例中，我們定義了一個必須被最小化的誤差總和函式 errorMeasure3.m，為節省篇幅，其內容不再列出，讀者請自行參考光碟中的檔案。）
事實上，很多看起來是非線性的迴歸模型，經過了一些轉換後，就會變成線性的迴歸模型，因此就可以使用我們這一節所說明的變形法，來進行線性迴歸的參數求取。以下是一些變形法可用的非線性模型，以及相關的轉換方法：
| 編號 | 非線性模型 | 轉換後的線性模型 | 參數轉換公式 | |
| 1 | $y=\frac{ax}{1+bx}$ | $\underbrace{\frac{1}{y}}_Y=\underbrace{\frac{1}{a}}_\alpha \frac{1}{x}+\underbrace{\frac{b}{a}}_\beta$ | $a=\frac{1}{\alpha}$, $b=\frac{\beta}{\alpha}$ | |
| 2 | $y=\frac{a}{x+b}$ | $\underbrace{\frac{1}{y}}_Y=\underbrace{\frac{1}{a}}_\alpha x+\underbrace{\frac{b}{a}}_\beta$ | $a=\frac{1}{\alpha}$, $b=\frac{\beta}{\alpha}$ | |
| 3 | $y=\frac{ax}{x^2+b^2}$ | $\underbrace{\frac{1}{y}}_Y=\underbrace{\frac{1}{a}}_\alpha x+\underbrace{\frac{b^2}{a}}_\beta \frac{1}{x}$ | $a=\frac{1}{\alpha}$, $b=\pm\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}$ | |
| 4 | $y=ax^b$ | $\underbrace{\ln y}_Y = \underbrace{b}_\alpha \ln x + \underbrace{\ln a}_\beta$ | $a=e^\beta, b=\alpha$ | |
| 5 | $y=\frac{1}{1+ax^b}$ | $\underbrace{\ln \frac{1-y}{y}}_Y = \underbrace{b}_\alpha \ln x + \underbrace{\ln a}_\beta$ | $a=e^\beta, b=\alpha$ | |
| 6 | $y=\frac{1}{1+exp\left(\frac{ax}{b+x}\right)}$ | $\underbrace{\left[\ln \frac{1-y}{y}\right]^{-1}}_Y=\underbrace{\frac{b}{a}}_\alpha \frac{1}{x}+\underbrace{\frac{1}{a}}_\beta$ | $a=\frac{1}{\beta}, b=\frac{\alpha}{\beta}$ | |
| 7 | $y=\ln a + x - \ln (e^x+b)$ | $\underbrace{e^{-y}}_Y=\underbrace{\frac{b}{a}}_\alpha e^x+\underbrace{\frac{1}{a}}_\beta$ | $a=\frac{1}{\beta}, b=\frac{\alpha}{\beta}$ | |
| 8 | $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ | $\underbrace{y^2}_Y=\underbrace{-\frac{b^2}{a^2}}_\alpha x^2+\underbrace{b^2}_\beta$ | $a^2=-\frac{\beta}{\alpha}, b^2=\beta$ | |
| 9 | $(x-a)^2+(y-b)^2=c^2$ | $\underbrace{x^2+y^2}_Y=\underbrace{2a}_\alpha x+\underbrace{2b}_\beta y+\underbrace{c^2-a^2-b^2}_\gamma$ | $a=\alpha/2, b=\beta/2\\c=\gamma+\frac{\alpha^2}{4}+\frac{\beta^2}{4}$ | |
| 10 | $y=a e^{\left[-\left(\frac{x-c}{b}\right)^2\right]}$ | $\underbrace{\ln y}_Y = \underbrace{-\frac{1}{b^2}}_\alpha x^2+ \underbrace{\frac{2c}{b^2}}_\beta x+\underbrace{\ln a-\frac{c^2}{b^2}}_\gamma$ | $a=exp \left( \gamma - \frac{\beta^2}{4}\right)\\b=\pm \sqrt{-\frac{1}{\alpha}}\\c=-\frac{\beta}{2\alpha}$ | |
| 11 | $y=\frac{a}{\sqrt{(1+bx^2)^2+c}}$ | $\underbrace{\frac{1}{y^2}}_Y=\underbrace{\frac{b^2}{a^2}}_\alpha x^4+\underbrace{\frac{2b}{a^2}}_\beta x^2+\underbrace{\frac{c+1}{a^2}}_\gamma$ | $a=\pm\frac{\sqrt{4\alpha}}{\beta}\\b=\frac{2\alpha}{\beta}\\c=\frac{4\alpha\gamma}{\beta^2}-1$ |
MATLAB程式設計：進階篇
