6-3 嚙稻嚙踝蕭嚙褓與嚙稻嚙踝蕭嚙碾嚙緬

一個矩陣 $A$ 與其奇異值（Singular Value）$\sigma$ 及奇異向量 （Singular Vectors）$u$ 與 $v$ 之間存在下列的關係式： $$ \left\{ \begin{matrix} Av=\sigma u\\ A^Tu=\sigma v \end{matrix} \right. $$ 若將所有的行向量 $u$ 並排成矩陣 $U$，所有的行向量 $v$ 並排成矩陣 $V$，則上式可寫成：

$$ \left\{ \begin{matrix} AV=U\Sigma\\ A^TU=V\Sigma \end{matrix} \right. $$ 其中 $\Sigma$ 的主對角線即是對應的 $\sigma$ 值，其餘元素為零。

若 $A$ 的維度是 m×n，則 $U$、$Σ$、$V$ 的維度分別是 m×m、m×n 以及 n×n。 一般而言，$U$ 和 $V$ 均是 Unitary 矩陣（即矩陣內的行向量均兩兩相互垂直，且行向量的長度均為 1），滿足下列條件：

$$ \left\{ \begin{matrix} UU^T=I\\ VV^T=I \end{matrix} \right. $$ 因此矩陣 $A$ 可寫成

$$A=U\Sigma V^T$$ 上式稱為奇異值分解（Singular Value Decomposition）。

MATLAB 的 svd 指令可用於計算矩陣的奇異值及奇異向量，我們並可以同時驗證奇異值分解，如下：

Example 1: 06-線性代數/svd01.m

A = [3 5; 4 7; 2 1; 0 3]; [U, S, V] = svd(A) maxDiff = max(max(abs(A-U*S*V')))U = -0.5577 0.0881 -0.6954 0.4447 -0.7714 0.0333 0.2489 -0.5848 -0.1771 0.6471 0.5453 0.5025 -0.2504 -0.7565 0.3965 0.4558 S = 10.4517 0 0 1.9397 0 0 0 0 V = -0.4892 0.8722 -0.8722 -0.4892 maxDiff = 3.5527e-015

若 $A$ 為 m×n 的矩陣且 m >> n，則我們可在原先的 svd 指令加入另一個輸入引數 0，使其產生的 $U$ 及 $S$ 矩陣具有較小的維度，例如：

Example 2: 06-線性代數/svd02.m

A = [3 5; 4 7; 2 1; 0 3]; [U, S, V] = svd(A, 0) maxDiff = max(max(abs(A-U*S*V')))U = -0.5577 0.0881 -0.7714 0.0333 -0.1771 0.6471 -0.2504 -0.7565 S = 10.4517 0 0 1.9397 V = -0.4892 0.8722 -0.8722 -0.4892 maxDiff = 3.5527e-015

一般而言，若 $A$ 為 m×n（m >> n）的矩陣，則此種方式所產生的 $U$、 $S$、 $V$ 矩陣，其維度分別是 m×n、n×n 及 n×n。

和 svd 相關的指令尚有 svds 及 gsvd，讀者可由線上支援查到相關資訊。

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MATLAB程式設計：進階篇