pinv (MATLAB Function Reference)

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Moore-Penrose 擬似反矩陣（pseudoinverse of a matrix）

Syntax

B = pinv(A)
B = pinv(A,tol)

Definition

Moore-Penrose 的虛擬反矩陣即為滿足下列四個條件且維度等同於 A' 的矩陣 B：

A*B*A = A
B*A*B = B
A*B 為 Hermitian
B*A 為 Hermitian

運算是根據函式 svd(A)，任何小於 tol 的值都會被視為 0。

Description

B = pinv(A) 回傳 A 的 Moore-Penrose 虛擬反矩陣。

B = pinv(A,tol) 根據誤差值回傳 Moore-Penrose 的虛擬反矩陣，誤差的預設值為 max(size(A))*norm(A)*eps。

Examples

若 A 為正方矩陣且不只含有一個元素，則用 pinv(A) 計算 inv(A) 為多餘的做法。但若 A 不為正方矩陣，或是正方但僅含有一元素，則 inv(A) 不存在。在這種狀態下，pinv(A) 有一些 inv(A) 的性質。

若 A 的列數比行數多，則下述的問題

minimize norm(A*x-b)

並沒有唯一解。兩個未知數其無限多組解為

x = pinv(A)*b

及

y = A\b

這兩個解說明 norm(x) 小於任何解的基準，而 y 有最少可能的不為 0 個數。

舉例來說，以下產生一個矩陣：

A = magic(8); A = A(:,1:6)

為一個 8*6 的矩陣，其 rank(A) = 3。

A =
    64     2     3    61    60     6
     9    55    54    12    13    51
    17    47    46    20    21    43
    40    26    27    37    36    30
    32    34    35    29    28    38
    41    23    22    44    45    19
    49    15    14    52    53    11
     8    58    59     5     4    62

而 b = 260*ones(8,1)

係數 260 為 8*8 魔方矩陣的和。對於所有八欄，A*x = b 有個解其向量全為 1。即使只有六行，方程式仍然一致，所以解是存在的，不過不全為 1。因為矩陣有不足行列，所以會有無限多組解。其中兩個為：

x = pinv(A)*b

pie3 　 plot