MATLAB Function Reference

expm

矩陣的指數運算(Matrix exponential)

Syntax

Y = expm(X)

Description

Y = expm(X) 得到 e 的矩陣 X次方。若矩陣 X 特徵值(eigenvalues)有負數或0，會產生複雜的結果。

Use exp 指令產生的矩陣元素值為其矩陣對應元素來做次方值。

Algorithm

 expm 是內建指令，並使用 expm1.m 中 所應用到的Padé approximation來做scaling and squaring algorithm。

第二個方法是使用泰勒近似法來求之。 expm2.m就是使用這種方法。但因為精確度和速度不佳，並不建議使用。

第三個方法是將矩陣對角化(diagonalize the matrix)，將指令應用到單獨的特徵值(apply the function to the individual eigenvalues)，再轉換回來。若輸入矩陣沒有完全的線性獨立特徵向量(input matrix does not have a full set of linearly independent eigenvectors)，這個方法就無法使用。

References [1] 和 [2] 中對於計算 expm(X)有詳細的描述和比較。內建指令expm1是[2]中的第三種方法。

Examples

 A 是一個3x3的矩陣：

1        1        0
0        0        2
0        0       -1

 expm(A) 為：

2.7183   1.7183        1.0862
0        1.0000        1.2642
0             0        0.3679

而 exp(A) 為：

2.7183        2.7183        1.0000
1.0000        1.0000        7.3891
1.0000        1.0000        0.3679

我們可以注意到二個矩陣的對角線元素相等，而在任何二維矩陣中這件事都會成立。但非對角線元素則一定不相等。

See Also

exp, funm, logm, sqrtm

References

[1] Golub, G. H. and C. F. Van Loan, Matrix Computation, p. 384, Johns Hopkins University Press, 1983.

[2] Moler, C. B. and C. F. Van Loan, "Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix," SIAM Review 20, 1979, pp. 801-836.

expint

eye