MATLAB Function Reference

erf, erfc, erfcx, erfinv

Error 函數

Syntax

Y = erf(X)                      Error function
Y = erfc(X)                     Complementary error function
Y = erfcx(X)                    Scaled complementary error function
X = erfinv(Y)                   Inverse of the error function

Definition

The error 函數erf(X) 是平均值 0 和標準差 高斯分布(Gaussian distribution)積分的兩倍：

The complementary error 函數erfc(X) 定義如下：

The scaled complementary error 函數erfcx(X) 定義如下：

對於較大的 X, erfcx(X) 取近似值到

Description

Y = erf(X) 傳回實數陣列 X 每個元素的 error 函數值。

Y = erfc(X) 計算 complementary error 函數值。

Y = erfcx(X) 計算 scaled complementary error 函數值。

X = erfinv(Y) 傳回 Y 每個元素的 inverse error 函數值。Y 的元素值必須在 。

Remarks

error 函數和 standard normal probability distribution 的關係是：

x = -5:0.1:5;
standard_normal_cdf = (1 + (erf(x/sqrt(2))))./2;

Examples

erfinv(1) is Inf

erfinv(-1) is -Inf.

For abs(Y) > 1, erfinv(Y) is NaN.

Algorithms

對於 error 函數，MATLAB 程式碼是由 W. J. Cody(Argonne National Laboratory， NETLIB/SPECFUN, March 19, 1990)從一個 Fortran 程式改寫的。 主要的近似-最小有理近似值(near-minimax rational approximations)計算是依據 [1] 求得的。

對於 inverse of the error 函數，初始的近似值是以精確到前 6 個位元的有理近似值產生的。以牛頓法的兩個步驟可以改善到完全準確。可以修改 M-file 來取消牛頓的改進法。這樣的話執行速度是原來的3倍快，但是精確度較差。

References

[1] Cody, W. J., "Rational Chebyshev Approximations for the Error Function," Math. Comp., pgs. 631-638, 1969

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