11-4 ODE 嚙踝蕭嚙踝蕭嚙踝蕭嚙踝蕭嚙踝蕭嚙踝蕭嚙踝蕭嚙踝蕭嚙踝蕭嚙踝蕭嚙?

在前一節中，我們已知道基本 ODE 檔案的寫法，如 vdp1.m、vdp2.m 及 lorenzOde.m 等。在本節中，將更進一步介紹 ODE 檔案的進階用法，以使 ODE 指令能夠迅速且準確地算出積分結果。

首先，我們可將 tspan（積分時間範圍）、y0（起始值）及 options（ODE參數）置於 ODE 檔案中，這些變數必須能由 ODE 檔案傳回，其格式為：

[tspan, y0, options] = odeFile([], [], 'init')

其中我們假設 odeFile 即是我們的 ODE 檔案。若 odeFile 滿足上述要求，則我們可以直接呼叫 ODE 指令如下：

[t, y] = solver('odeFile')

其中 solver 為前述的任一個 ODE 指令，它可由 odeFile 直接得到 tspan、y0 及 options 等積分所需的資訊。

以前述的 van der Pol 為例，若要能夠傳回 tspan、y0 及 options，vdp1.m 須改寫如下（vdp3.m）：

11-常微分方程式/vdp3.m

function [output1, output2, output3] = vdp3(t, y, flag) if strcmp(flag, '') mu = 1; output1 = [y(2); mu*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)]; % dy/dt elseif strcmp(flag, 'init'), output1 = [0; 25]; % Time span output2 = [3; 3]; % Initial conditions output3 = odeset; % ODE options end

此時我們可以直接呼叫 ODE 指令如下：

Example 1: 11-常微分方程式/odeAdvanced01.m

ode45('vdp3')

此外，van der Pol 的微分方程式有一個參數 $\mu$，若希望從外面傳入此參數的值，我們可將 vdp3.m 改寫成vdp4.m，其內容如下：

11-常微分方程式/vdp4.m

function [output1, output2, output3] = vdp4(t, y, flag, mu) if nargin < 4 | isempty(mu), mu = 1; end if strcmp(flag, '') output1 = [y(2); mu*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)]; % dy/dt elseif strcmp(flag, 'init'), output1 = [0; 25]; % Time span output2 = [3; 3]; % Initial conditions output3 = odeset; % ODE options end

此時 $\mu$ 就變成一個選擇性（Optional）的參數，其預設值為 1。在下例中，我們將 $\mu$ 的值從 MATLAB 傳入，並畫出不同 $\mu$ 值下的 van der Pol 方程式的狀態變數：

Example 2: 11-常微分方程式/odeAdvanced02.m

subplot(2,1,1); ode45('vdp4', [], [], [], 1); % mu=1 subplot(2,1,2); ode45('vdp4', [], [], [], 3); % mu=3

在上圖中，$\mu$ 的值分別是 1 及 3。指令列中用到了許多空矩陣，這些空矩陣代表「取用預設值」，因此 ode45 會直接從 vdp4.m 取用時間區間及變數起始值。事實上，您也可以傳入二個或更多的參數，MATLAB 及 ODE 指令對於可傳入的參數個數並無設限。

此外，為解決其它較複雜的 ODEs 及 DAEs（Differential Algebra Equations），ODE 檔案亦可在不同的旗號（Flag）下傳回不同的資訊，以下是一個完整的列表：

整理：由 odeset 產生的 ODE 選項

旗號	傳回值
（空字串）	dy(=F(t,y))
init	tspan, yo 及 options
jacobian	Jacobian 矩陣 J(t,y) = $\partial F/\partial Y$
jpattern	Jacobian sparsity pattern 之矩陣
mass	解 M(t,y)y' = F(t,y) 所須的質量矩陣 M
events	定義事件發生點的各種資訊

後四者因為不常用到，在此不再贅述。有興趣的讀者可參考 MATLAB 有關 ODE 的手冊。

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MATLAB程式設計：進階篇