8-4 うp

MATLAB 提供了數個指令來進行數學函數的最佳化，本節將介紹：

• 單變數函數的最小化
• 多變數函數的最小化
• 設定最佳化的選項

本節所討論的最佳化方法是比較基本的方法，若讀者有興趣使用較複雜的方法，可以使用「最佳化工具箱」（Optimization Toolbox）。

首先我們介紹單變函數的最小化。如果您要尋求 humps 在 [0.3, 1] 中的最小值，可用 fminbnd 指令來找出最小值的發生點，例如：

Example 1: 08-一般數學函數的處理與分析/fminbnd01.m

[x, minValue] = fminbnd(@humps, 0.3, 1) % 使用 fminbnd 指令找出最小值的發生點 fplot(@humps, [0.3, 1]); grid on line(x, minValue, 'marker', 'o', 'color', 'r'); % Plot the minimum point x = 0.6370 minValue = 11.2528

由上例可知，MATLAB 求得的最小值發生在 x = 0.637，且最小值為 11.2528。若要知道尋求最小值的中間過程，可使用 optimset 指令來設定顯示選項，再將 optimset 傳回的結構變數送入 fminbnd，例如：

Example 2: 08-一般數學函數的處理與分析/fminbnd02.m

opt = optimset('disp', 'iter'); % 顯示每個步驟的結果 [x, minValue] = fminbnd(@humps, 0.3, 1, opt) Func-count x f(x) Procedure 1 0.567376 12.9098 initial 2 0.732624 13.7746 golden 3 0.465248 25.1714 golden 4 0.644416 11.2693 parabolic 5 0.6413 11.2583 parabolic 6 0.637618 11.2529 parabolic 7 0.636985 11.2528 parabolic 8 0.637019 11.2528 parabolic 9 0.637052 11.2528 parabolic Optimization terminated: the current x satisfies the termination criteria using OPTIONS.TolX of 1.000000e-04 x = 0.6370 minValue = 11.2528

上表列出 x 值的變化及相對應的函數值 f(x)，最後一欄位列出求極小值的方法，通常是黃金分割搜尋（Golden Section Search）或是拋物線內插法（Parabolic Interpolation）。由列出的文字訊息可以知道，所算出的 x 值的誤差小於 10 的 -4 次方。

若要放鬆誤差管制，使 fminbnd 提早傳回計算結果，亦可由 optimset 來達成。下例將 x 的誤差範圍提高為 0.1：

Example 3: 08-一般數學函數的處理與分析/fminbnd03.m

opt = optimset( 'disp', 'iter', 'TolX', 0.1); % 顯示每個步驟的結果並設定誤差容忍值 [x, minValue] = fminbnd(@humps, 0.3, 1, opt) Func-count x f(x) Procedure 1 0.567376 12.9098 initial 2 0.732624 13.7746 golden 3 0.465248 25.1714 golden 4 0.644416 11.2693 parabolic 5 0.611083 11.4646 parabolic 6 0.677749 11.7353 parabolic Optimization terminated: the current x satisfies the termination criteria using OPTIONS.TolX of 1.000000e-01 x = 0.6444 minValue = 11.2693

以上範例均是對單變函數求及值，若要求取多變數函數的極值，可由 fminsearch 指令求得，但您必須指定一個起始點，以讓 fminsearch 據以求出在起始點附近的局部最小值（Local Minima）。假設您的目標函數是： $$f(x_1, x_2, x_3)=(x_1-1)^2+5(x_2-2)^2+(x_3-3)^2$$

首先您必須產生一個 MATLAB 的函數 objective.m，其內容可顯示如下：

function y = objective(x) y = (x(1)-1).^2 + 5*(x(2)-2).^2 + (x(3)-3).^2;

若起始點為 $(x_1, x_2, x_3)=(0, 0, 0)$，則我們可以輸入如下以求取最小值的發生位置：

Example 4: 08-一般數學函數的處理與分析/fminsearch01.m

x0 = [0, 0, 0]; x = fminsearch(@objective, x0) x = 1.0000 2.0000 3.0000

fminsearch 使用的方法是下坡式 Simplex 搜尋（Downhill Simplex Search），詳細參考資料可見 筆者的另一本英文著作：「Neuro – Fuzzy and Soft Computing」, Prentice Hall, 1997。

MATLAB 最佳化的方法有許多不同的選項，這些選項是經由另一個輸入引數（Input Argument）來進入 fminbnd 或 fminsearch，其使用語法為：

x = fminbnd(@function, x1, x2, options)

或

x = fminsearch(@function, x0, options )

其中 options 是一個結構變數，包含六十多個欄位，代表各種最佳化的選項（或參數）。欲設定這些最佳化選項，可用 optimset 指令，其使用語法為：

options = optimset(prop1, value1, prop2, value2, …)

其中 prop1、prop2 等是欄位名稱，value1、value2 等是對應的欄位值。例如，如前所述，若要使 MATLAB 印出每一個最佳化步驟的中間結果，並放鬆誤差範圍，則可設定如下：

Example 5: 08-一般數學函數的處理與分析/optimset01.m

options = optimset('Disp', 'iter', 'TolX', 0.1); fieldNames=fieldnames(options); fprintf('No. of fields = %d\n', length(fieldNames)); options No. of fields = 55 options = <a href="matlab:helpPopup struct" style="font-weight:bold">struct</a> with fields: Display: 'iter' MaxFunEvals: [] MaxIter: [] TolFun: [] TolX: 0.1000 FunValCheck: [] OutputFcn: [] PlotFcns: [] ActiveConstrTol: [] Algorithm: [] AlwaysHonorConstraints: [] DerivativeCheck: [] Diagnostics: [] DiffMaxChange: [] DiffMinChange: [] FinDiffRelStep: [] FinDiffType: [] GoalsExactAchieve: [] GradConstr: [] GradObj: [] HessFcn: [] Hessian: [] HessMult: [] HessPattern: [] HessUpdate: [] InitBarrierParam: [] InitTrustRegionRadius: [] Jacobian: [] JacobMult: [] JacobPattern: [] LargeScale: [] MaxNodes: [] MaxPCGIter: [] MaxProjCGIter: [] MaxSQPIter: [] MaxTime: [] MeritFunction: [] MinAbsMax: [] NoStopIfFlatInfeas: [] ObjectiveLimit: [] PhaseOneTotalScaling: [] Preconditioner: [] PrecondBandWidth: [] RelLineSrchBnd: [] RelLineSrchBndDuration: [] ScaleProblem: [] SubproblemAlgorithm: [] TolCon: [] TolConSQP: [] TolGradCon: [] TolPCG: [] TolProjCG: [] TolProjCGAbs: [] TypicalX: [] UseParallel: []

由上例可知，options 共有六十多個欄位，以滿足眾多最佳化指令的需求。（其它最佳化指令可見「最佳化工具箱（Optimization Toolbox）」）雖然 options 欄位眾多，但事實上，並不是每一個欄位值都會被用到，如果欄位值顯示是空矩陣，代表 MATLAB 會使用此欄位的預設值來進行運算。另，optimset 會根據輸入的最佳化函數名稱而回傳不同的結果，例如我們可以檢視與 fminbnd 相關的最佳化選項：

Example 6: 08-一般數學函數的處理與分析/optimset02.m

options = optimset('fminbnd'); fieldNames=fieldnames(options); fprintf('No. of fields = %d\n', length(fieldNames)); for i=1:length(fieldNames) if ~isempty(options.(fieldNames{i})) fprintf('options.%s=%s\n', fieldNames{i}, num2str(options.(fieldNames{i}))); end endNo. of fields = 55 options.Display=notify options.MaxFunEvals=500 options.MaxIter=500 options.TolX=0.0001 options.FunValCheck=off

在上數範例中，我們特別將欄位值為空字串的欄位進行刪除，以節省顯示空間。

若要檢視與 fminsearch 相關的最佳化選項，可以輸入如下

Example 7: 08-一般數學函數的處理與分析/optimset03.m

options = optimset('fminsearch'); fieldNames=fieldnames(options); fprintf('No. of fields = %d\n', length(fieldNames)); for i=1:length(fieldNames) if ~isempty(options.(fieldNames{i})) fprintf('options.%s=%s\n', fieldNames{i}, num2str(options.(fieldNames{i}))); end end No. of fields = 55 options.Display=notify options.MaxFunEvals=200*numberofvariables options.MaxIter=200*numberofvariables options.TolFun=0.0001 options.TolX=0.0001 options.FunValCheck=off

與 fminbnd 和 fminsearch 相關的重要最佳化選項可以說明如下：

1. Display 若為 0 （預設值），則不顯示中間運算結果。反之，若不為 0，則顯示運算過程的中間結果。
2. MaxFunEvals 是函數求值運算（Function Evaluation）的最高次數，對 fminbnd 的預設值是 500，對 fminsearch 的預設值是 200 乘上 x0 的長度。
3. MaxIter 是最大疊代次數，對 fminbnd 的預設值是 500，對 fminsearch 的預設值是 200 乘上 x0 的長度。
4. TolFun 是決定終止搜尋的函數值容忍度，預設為 $10^{-4}$（此選項只被 fminsearch 用到，fminbnd 並不使用）。
5. TolX 是決定終止搜尋的自變數值容忍度，預設為 $10^{-4}$。

Hint

• 最佳化並非一蹴可及，通常其過程是一再重覆，最後才能收斂到最佳點。最佳化的結果和起始點的選定有很大的關聯；一個良好的起始點，能加快最佳化收斂的速度，並提高找到全域最佳值（Global Optimum）的機會。
• 不同版本的 MATLAB，由 optimset 指令傳回的選項可能有所不同，但是差異性並不大。

---

MATLAB程式設計：進階篇