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曲線擬合（Curve Fitting）是在資料分析上常用的方法，其基本概念乃是以一參數化的曲線來逼近一組給定的資料點。若此參數化的曲線是一個多項式，則此種曲線擬合又稱為多項式擬合（Polynomial Fitting）。MATLAB 提供了 polyfit 指令以進行多項式擬合，使用非常容易。

例如：以下為美國人口在 1790至 1990（10 年一期）的資料：

Example 1: 07-多項式的處理與分析/plotCensus.m

load census.mat plot(cdate, pop, 'o'); xlabel('年份'); ylabel('人口（單位：百萬）');

若欲預測美國在西元 2002 年的總人口，可用 polyfit 來找出一條多項式以逼近已知的資料點。假設此多項式的次數為 3，則可輸入如下：

Example 2: 07-多項式的處理與分析/polyfit01.m

warning off % 刪除此列將可顯示警告訊息 load census.mat plot(cdate, pop, 'o'); p3 = polyfit(cdate, pop, 3); cdate2 = 1790:2002; pop2 = polyval(p3, cdate2); plot(cdate, pop, 'o', cdate2, pop2, '-'); xlabel('年份'); ylabel('人口（單位：百萬）'); legend('實際人口', '預測人口'); popAt2002 = polyval(p3, 2002)popAt2002 = 282.5332

由此曲線預測可知在 2002 年的美國人口約為 282.5 百萬人。

由不同的次數來進行多項式擬合，在「外插」（Extrapolation）時，得到的差異相當大。我們可將其結果畫在同一張圖上，以方便進行比較。如下：

Example 3: 07-多項式的處理與分析/polyfit02.m

warning off % 刪除此列將可顯示警告訊息 load census.mat cdate2 = min(cdate):(max(cdate)+30); curve = zeros(7, length(cdate2)); for i = 1:7 curve(i,:) = polyval(polyfit(cdate,pop,i), cdate2); end plot(cdate, pop,'o', cdate2, curve); legend('實際資料', 'order=1', 'order=2','order=3', 'order=4', 'order=5', 'order=6', 'order=7'); xlabel('年份'); ylabel('人口（單位：百萬）');

請注意，多項式的次數越高，越能逼近所給定的資料。以上述 21 點資料為例，若我們用 20 次的多項式來逼近，則此多項式會通過每一個資料點。（為什麼？）但這並不表示預測的準確度會提高。高次多項式對雜訊（Noise）的敏感度較高，因此容易產生不準確的外插預測。（讀者若在 MATLAB 嘗試此範例，所畫出的圖是彩色的，比較容易看出每條曲線的差異。）

同時，在上述範例中，常會出現 MATLAB 的警告訊息（請將上述兩範例中的 warning off 刪除，即可看到警告訊息），這是表示由於實際資料的不足或由於資料數值範圍的過大或過小，造成在進行多項式擬合時，可能會帶來數值上的誤差。因此在進行多項式擬合時，我們最好先將資料進行必要的平移、放大或縮小範圍，相關資訊請由「help polyfit」即可得到相關的線上支援。

Hint

在MATLAB 的示範程式 census.m 中，有針對上述美國人口資料的各種曲線擬合方法，您若有興趣，不妨輸入「showdemo census.m」試試看！

其它有關內插與曲線擬合的方法，請參見本書「曲線擬合與迴歸分析」之相關章節。

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MATLAB程式設計：進階篇