線性代數中最重要的問題，即是解決線性聯立方程式。一組線性聯立方程式可用矩陣表示如下：
$$Ax = b$$其中 $A$ 是已知矩陣，$b$ 是已知行向量，而 $x$ 則是未知行向量。為簡化起見，我們可以假設 $A$、$x$、$b$ 的維度分別是 m×n、n×1、m×1， 其中 m 代表方程式的數目，n 則是未知數的數目，可以分成三種情況來討論：
- 若 m = n，代表方程式的個數和未知數的個數相等，此時通常會有一組解 $x$ 滿足 $Ax=b$。
- 若 m > n，代表方程式的個數大於未知數的個數，此時通常無一解可滿足 $Ax=b$，但我們可轉而求取最小平方解（Least-Squares Solution）$\hat{x}$，滿足 $\hat{x}=\arg \min_x |Ax-b|^2$。
- 若 m < n，代表方程式的個數小於未知數的個數，此時通常有無限多組解 $x$ 可滿足 $Ax=b$，我們可尋求一基本解（Basic Solution）$x$，使得 $x$ 最少包含 m-n 個零元素。
MATLAB 提供一個反斜線運算（Back Slash Operator，即「\」）使得 x=A\b 能滿足上述三種情況，此反斜線運算又稱「左除」（Left Division）。 同理，MATLAB 也提供了斜線運算（Slash Operator，即「/」）或「右除」（Right Division），以對付 $xA=b$ 的方程組（$x$、$A$、$b$ 的維度分別是 1×m、m×n、1×n）。
| 聯立方程式形式 | MATLAB 解法 |
|---|---|
| $Ax=b$ | 左除：x = A\b |
| $xA=b$ | 右除：x = b/A |
在上表中，欲解 $Ax=b$ 或 $xA=b$，我們可以想像在等號兩邊各除以 $A$，並依 $A$ 的位置分別取用「左除」或「右除」。
由於 $xA=b$ 和 $A^Tx^t=b^T$ 是等效的，因此 b/A = (A'\b')'，所以在下面的討論，我們均以「左除」來代表 MATLAB 解線性方程式的方法。以下是幾個使用「左除」的例子。
在上例中，A 是一個 3×3 的萬得夢矩陣（Vandermende Matrix），因此 x = A\b 得到一組唯一解。 （萬得夢矩陣的一般形式為 $V= \begin{bmatrix} 1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \dots & \alpha_1^{n-1} \\ 1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \dots & \alpha_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \alpha_m & \alpha_m^2 & \dots & \alpha_m^{n-1} \\ \end{bmatrix}$，當 $m=n$ 時，其行列式可以表示成 $det(V)=\prod_{\substack{1 \le i < j \le n}} (\alpha_j - \alpha_i)$，因此如果 $\alpha_i \neq \alpha_j, \forall i \neq j$，其行列式將不會等於零。）
當 m > n 時，「左除」可以找到最小平方解。舉例如下：
在上例中，我們有 3 個方程式，但卻只有 2 個未知數，此 3 個方程式在 X-Y 平面並未交於一點，故嚴格地說，此方程組無解，而 MATLAB的「左除」找到的 $x$ 為最小平方解，可以使得 $|Ax-b|^2$ 為最小值。
當 m < n 時，「左除」可以找到基本解，舉例如下：
MATLAB 在進行「左除」時，實際上用到了很多矩陣的運算及變形，例如：LU Decomposition，QR Factorization，Cholesky Factorization， 以及一般的高斯消去法（Gaussian Elimination）等。由於此部份牽涉較深的線性代數及數值方法，在此不深入介紹。 相關的 MATLAB 指令有 lu、qr 及 chol 等，讀者可由 MATLAB 線上支援得到更多的資訊。
MATLAB程式設計：進階篇
