一個矩陣 $A$ 與其奇異值（Singular Value）$\sigma$ 及奇異向量 （Singular Vectors）$u$ 與 $v$ 之間存在下列的關係式： $$ \left\{ \begin{matrix} Av=\sigma u\\ A^Tu=\sigma v \end{matrix} \right. $$ 若將所有的行向量 $u$ 並排成矩陣 $U$，所有的行向量 $v$ 並排成矩陣 $V$，則上式可寫成：
$$ \left\{ \begin{matrix} AV=U\Sigma\\ A^TU=V\Sigma \end{matrix} \right. $$ 其中 $\Sigma$ 的主對角線即是對應的 $\sigma$ 值，其餘元素為零。若 $A$ 的維度是 m×n，則 $U$、$Σ$、$V$ 的維度分別是 m×m、m×n 以及 n×n。 一般而言，$U$ 和 $V$ 均是 Unitary 矩陣（即矩陣內的行向量均兩兩相互垂直，且行向量的長度均為 1），滿足下列條件：
$$ \left\{ \begin{matrix} UU^T=I\\ VV^T=I \end{matrix} \right. $$ 因此矩陣 $A$ 可寫成 $$A=U\Sigma V^T$$ 上式稱為奇異值分解（Singular Value Decomposition）。MATLAB 的 svd 指令可用於計算矩陣的奇異值及奇異向量，我們並可以同時驗證奇異值分解，如下：
若 $A$ 為 m×n 的矩陣且 m >> n，則我們可在原先的 svd 指令加入另一個輸入引數 0，使其產生的 $U$ 及 $S$ 矩陣具有較小的維度，例如：
一般而言，若 $A$ 為 m×n（m >> n）的矩陣，則此種方式所產生的 $U$、 $S$、 $V$ 矩陣，其維度分別是 m×n、n×n 及 n×n。
和 svd 相關的指令尚有 svds 及 gsvd，讀者可由線上支援查到相關資訊。
MATLAB程式設計：進階篇
