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對於一個只包含實數的稀疏矩陣，假設其維度為 m×n，含有 nnz 個非零元素，MATLAB 動用了三個內部陣列來儲存此稀疏矩陣的相關資訊：

• 第一個陣列：以 double 方式儲存了所有的非零元素，其長度為 nnz，使用的空間為大小 8*nnz 位元組（Bytes）。
• 第二個陣列：以長整數方式儲存了每個元素的列索引，其長度為 nnz，使用的空間大小為 8*nnz 位元組（Bytes）。
• 第三個陣列：以長整數方式儲存了每個直行的起始指標，其長度為 n，使用空間大小為 8*n 位元組（Bytes）。

因此，整個稀疏矩陣內存空間大小為 8*nnz + 8*nnz + 8*n + 8 = 16*nnz + 8*n + 8，多出來的 8 個 bytes 是用來儲存其他經常性資訊。以 MATLAB 的 west0479.mat 檔案為例，此檔案包含一個 479×479 的稀疏矩陣，我們可以驗證上述內存空間公式如下：

Example 1: 05-稀疏矩陣/memorySize01.m

clear all load west0479.mat [m,n]=size(west0479); totalSize=16*nnz(west0479)+8*n+8 whos west0479totalSize = 34032 Name Size Bytes Class Attributes west0479 479x479 34032 double sparse

由上例可知，我們由上述內存空間公式所得到的結果，和 whos 指令所得到的結果是一致的。此外在上例中，nnz(west0479) 可傳回稀疏矩陣 west0479 的非零元素個數，其他類似的指令還有 nonzeros（傳回一個包含所有非零元素的行向量）及 nzmax（傳回最大的非零元素個數）。

Hint

• 在一個稀疏矩陣中，將一個非零元素設定成零時，MATLAB 並不會自動釋放記憶體空間，換包話說，nnz 會隨著非零元素的減少而減少，但 nzmax 並不會隨著改變。但是當您多加一個非零元素時，若 nnz 已大於 nzmax 時，nzmax 會隨之增大（即 MATLAB 會自動配置記憶體）以儲存新加的元素。

上述的內存空間公式會隨著 MATLAB 的版本而有所改變，所以決定內存空間公式的最好方式是直接對 MATLAB 進行測試，範例如下：

Example 2: 05-稀疏矩陣/memorySize02.m

caseNum=100; A=zeros(caseNum, 4); % A in Ax=b b=zeros(caseNum, 1); % b in Ax=b for i=1:caseNum m=max([round(100*rand), 5]); n=max([round(100*rand), 5]); s=sprand(m, n, 0.1); sizeInfo=whos('s'); A(i,1)=nnz(s); A(i,2:3)=sizeInfo.size; A(i,4)=1; b(i)=sizeInfo.bytes; end x=A\b maxDiff=max(abs(A*x-b)) x = 16.0000 0.0000 8.0000 8.0000 maxDiff = 3.6380e-12

在上例中，我們事實上是在解一個線性方程式 Ax=b，其中我們使用了 100 個稀疏矩陣來產生 A，A 包含四個直行，每一個直行分別代表這 100 個稀疏矩陣的 nnz（非零元素個數）、m（橫列個數）、n（直行個數），以及常數 1，而 b 則是這幾個稀疏矩陣的內存空間大小。由上述範例所得到的預測誤差相當小，因此由 x 的值就可以知道每一個特徵（nnz、m、n）所佔用的內存空間分別是（16、0、8），而每一個稀疏矩陣還會用到 8 個位元組來儲存經常性資訊。

Hint

在上述範例中，我們使用「左除」（x=A\b）來使用最小平方法解聯立方程式，相關說明可見本書之「線性代數」章節。

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MATLAB程式設計：進階篇