MATLAB Function Reference

logm

矩陣的對數運算(Matrix logarithm)

Syntax

Y = logm(X)
[Y,esterr] = logm(X)

Description

Y = logm(X) 回傳矩陣的對數運算(returns the matrix logarithm)：為 expm(X)的反函式。若 X 的特徵值(eignvalues)有負數，則會產生複數的結果(complex results)。如果計算出來的 expm(Y) 和 X 不相近，會產生警告訊息。

[Y,esterr] = logm(X) 不會顯示錯誤訊息，而會回傳相對餘數的估計值(an estimate of the relative residual) norm(expm(Y)-X)/norm(X)。

Remarks

若 X 是實數對稱(real symmetric)或 complex Hermitian，則 logm(X)也有同樣的特質。

有些矩陣沒有任何指數、實數或複數(do not have any logarithms, real or complex)例如 X = [0 1; 0 0]。此時 logm 無法產生結果(cannot be expected to produce one)。

Limitations

對大多數的矩陣來說下列式子可成立：

logm(expm(X)) = X = expm(logm(X))

對某些 X 則無法成立。例如 X 的等徵值(elgnvalues)包括0時， logm(X) 會計算出無窮數，若 X 的元素太大， expm(X) 可能會溢位( overflow)。

Examples

 A 是下列 3x3 矩陣

        1        1        0
        0        0        2
        0        0       -1

 X = expm(A) 為

X =
    2.7183    1.7183    1.0862
         0    1.0000    1.2642
         0         0    0.3679

 A = logm(X) 會產生原來的矩陣 A

A =
    1.0000    1.0000    0.0000
         0         0    2.0000
         0         0   -1.0000

但 log(X) 中因為有指數為0的情形，所以產生：

ans =
    1.0000    0.5413    0.0826
      -Inf         0    0.2345
      -Inf      -Inf   -1.0000

Algorithm

矩陣函式根據Parlett演算法來做計算，這個演算法在 [1]中有詳細說明。 這個演算法使用???( Schur factorization of the matrix)而且如果此矩陣有重覆的特徵值(eigenvalues)會產生明顯的錯誤。若可能有錯誤時會顯示警告訊息。

See Also

expm, funm, sqrtm

References

[1] Golub, G. H. and C. F. Van Loan, Matrix Computation, Johns Hopkins University Press, 1983, p. 384.

[2] Moler, C. B. and C. F. Van Loan, "Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix," SIAM Review 20, 1979,pp. 801-836.

loglog

logspace