Chapter 9: Exercises

  1. (*)簡森不等式：數學推導一: 對於 0≦l≦1，請證明下列「簡森不等式」（Jensen's Inequality）：
    ln(lx1+(1-l)x2) ≧ lln(x1) + (1-l)ln(x2)
  2. (*)簡森不等式：數學推導二: 請用歸納法，證明下列一般化的「簡森不等式」（Jensen's Inequality）：
    ln(Si=1nlixi) ≧ liSi=1nln(xi)
    其中 0≦li≦1, i=1~n, 而且 Si=1nli=1。
  3. (*)算數平均數大於或等於幾何平均數：數學推導: 請使用上一題的「簡森不等式」，證明「算數平均數大於或等於幾何平均數」，公式如下：
    (Si=1nxi)/n ≧ (Pi=1nxi)1/n
    其中 xi≧0, i=1~n。
  4. (*)轉換機率最佳值：數學推導: 請用直接微分的方式，求取下列函數的最大值，及所對應的 p, q 值：
    J(p, q) = paqb
    其中 0≦p, q≦1 且 p+q=1。
  5. (**)狀態機率最佳值：數學推導: 請用 Lagrange's Multiplier 的方式，求取下列函數的最大值，及所對應的 p, q, r 值：
    J(p, q, r) = paqbrc
    其中 0≦p, q, r≦1 且 p+q+r=1。
  6. (**)DHMM最佳路徑: 請寫一個函數 dhmmEval.m，來進行 DHMM 最佳路徑的計算，此函數的用法如下：
    [maxLogProb, dpPath] = dhmmEval(initPI, A, B, O)
    輸入參數的說明如下：
    1. A 代表轉移機率，其維度是 stateNum x stateNum
    2. B 代表符號對狀態的機率，其維度是 clusterNum x stateNum
    3. O 代表每一個音框所對應的符號，其維度是 frameNum x 1
    輸出參數的說明如下：
    1. maxLogProb 是一個純量，最佳路徑的纍加對數機率。
    2. dpPath 是一個向量，維度是 2 x frameNum，其中的每一個行向量即代表最佳路徑的一點，課文中的範例而言，dpPath = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15; 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3]。
    請用下列程式骨架來撰寫你的程式： Error: D:\users\jang\books\dcpr/example/dhmmEval.m does not exist!