10-1 Discrete-Time Fourier Transform (嚙踝蕭嚙踝蕭嚙踝蕭嚙踝蕭嚙踝蕭嚙踝蕭嚙踝蕭嚙踝蕭嚙踝蕭嚙踝蕭嚙踝蕭嚙踝蕭嚙踝蕭嚙?

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我們在前一章中，已經說明了一個 LTI 系統的頻率響應，也就是其單位脈衝響應的離散時間傅立葉轉換，可用來表示對於特定頻率弦波所產生的震幅和相角改變。此外，對於任意的離散時間訊號 x[n]，其「離散時間傅立葉轉換」（簡稱 DTFT）及其反轉換可以表示如下：

X(e^jw) = S_ke^-jwk x[k]
x[n] = (2p)^-1∫_2pX(e^jw)e^jwn dw
由上述的第一個式子即可推導出第二個式子。在第二個式子中，由於 X(e^jw) 的週期性是 2p，因此積分區間可以是任何長度為 2p 的區間。
由第二個式子，可以我們可以將 x[n] 拆解成無窮個基本函數 e^jwn 的線性組合，而每一個基本函數的震幅則是由 X(e^jw) 來控制。換句話說，X(e^jw) 即代表 x[n] 在連續頻率 w 的分量，可以進一步說明如下。
由基本微積分可知，對於一個函數 f(x) 的積分，我們可以使用累加來逼近：

∫₀^2p f(x) dx = lim_N→∞S_k=0^N-1 f(k‧(2p/N))‧(2p/N)
因此如果 x[n] 是實數，我們就可以將其拆解開來，表示如下：

x[n] = Re{(2p)^-1∫_2pX(e^jw)e^jwn dw}
= (2p)^-1∫_2p Re{X(e^jw)e^jwn} dw
= (2p)^-1∫_2p |X(e^jw)| cos(wn + q) dw, q=∠X(e^jw)
= N^-1 S_k=0^N-1 [|X(e^jw)| cos(wn + q)]_w=2pk/N dw, N→∞
換句話說，x[n] 已經被拆解成 N 個餘弦函數的線性組合，而這些餘弦函數的角頻率是從 0 到 2p(N-1)/N，震幅則是 |X(e^jw)|/N 在每個角頻率的值。（如果 x[n] 是複數，我們也可以進行此種拆解，只不過物理意義較不明顯。）
由上一節及本節的討論，我們就可以瞭解，DTFT 具有兩個非常重要的意義：

如果 h[n] 是一個 LTI 系統的脈衝響應（Impulse Response），那麼 H(e^jw)=S_kh[k]e^-jwk 就可以代表此系統對於角頻率等於 w 的訊號所造成的增益 |H(e^jw)| 和相位 ∠H(e^jw)。
如果訊號 x[n] 是一個任意訊號，那麼 X(e^jw)=S_kx[k]e^-jwk 就可以代表此訊號在不同角頻率 w 的分量大小 |H(e^jw)| 和相位 ∠H(e^jw)。

以下列出離散時間傅立葉轉換的一些常用到的重要性質。

線性性質： z[n] = a x[n] + b y[n] ←→ Z(e^jw) = a X(e^jw) + b Y(e^jw)
週期性： X(e^{j(w + 2 k p)}) = X(e^jw) 換句話說，DTFT 的週期為 2p。
延遲性質： y[n] = x[n-k] ←→ Y(e^jw) = e^jwk X(e^jw)
旋積： y[n] = x[n]*h[n] ←→ Z(e^jw) = X(e^jw)Y(e^jw) 也就是說，在時域的旋積等於在頻域的乘積。
如果 x[n] 是一個實數序列，那麼我們可以將對應的 DTFT X(e^jw) 拆解成實部和虛部的組合，如下：

X(e^jw) = S_ke^-jwk x[k]
= S_kx[k] cos(wk) - j S_kx[k] sin(wk)
= X_R(e^jw) + j X_R(e^jw)
其中 X_R(e^jw) = S_kx[k] cos(wk)
X_I(e^jw) = - S_kx[k] sin(wk) 這些函數滿足下列性質：

共軛對稱：X^*(e^jw) = X(e^-jw)
X_R(e^jw) 是偶函數
X_I(e^jw) 是奇函數
|X(e^jw)| 是偶函數
∠X(e^jw) 是奇函數

Audio Signal Processing and Recognition (音訊處理與辨識)

x[n]	=	Re{(2p)^-1∫_2pX(e^jw)e^jwn dw}
	=	(2p)^-1∫_2p Re{X(e^jw)e^jwn} dw
	=	(2p)^-1∫_2p \|X(e^jw)\| cos(wn + q) dw, q=∠X(e^jw)
	=	N^-1 S_k=0^N-1 [\|X(e^jw)\| cos(wn + q)]_w=2pk/N dw, N→∞

X(e^jw)	=	S_ke^-jwk x[k]
	=	S_kx[k] cos(wk) - j S_kx[k] sin(wk)
	=	X_R(e^jw) + j X_R(e^jw)