9-4 Eigen Functions (T)

如果我們將某一類特定的輸入函數送進某個系統後,如果所得到的輸出函數仍然具有輸入函數的格式,則此函數稱為此系統的「固有函數」(Eigen Function)。本節將說明,指數函數(含弦波函數)就是 LTI 系統的固有函數。

如果我們的輸入函數是一個指數函數:

x[n]=epn
那麼根據之前推導的公式,可得到對應的輸出是:
y[n]=x[n]*h[n]
=Skx[n-k] h[k]
=Skep(n-k) h[k]
=Skepn-pk h[k]
=epnSke-pk h[k]
=epnH(ep)
換句話說,輸出函數 y[n] 等於原輸入函數乘上一個常數 H(ep)(= Ske-pk h[k],是一個不隨時間而變化的函數),因此我們說「指數函數是 LTI 系統的固有函數」。

從這裡推廣,任何輸入函數,只要能夠表示成指數函數的線性組合,就可以使用疊加原理,先算出這些指數函數的對應輸出,再進行線性組合,就可以得到原輸入函數的對應輸出,可用數學式表示如下:

x[n] = aepn + beqn → y[n] = aH(ep) + bH(eq)

對於弦波函數,我們可以使用 Euler Identity 來代換成指數函數:

ejq = cos(q) + j sin(q)
換句話說:
cos(q) = (ejq + e-jq)/2 = Re{ejq}
sin(q) = (ejq - e-jq)/(2j) = Im{ejq}
因此,當輸入是
x[n] = cos(wn) = Re{ejwn}
對應的輸出則是
y[n]=Re{ejwnH(ejw)}
=Re{ejwn |H(ejw)| ejq}, q = ∠H(ejw)
=Re{|H(ejw)| ej(wn+q)}
=|H(ejw)| cos(wn + q)
換句話說,輸出函數還是 cos,只不過相位偏移了 q = ∠H(ejw),震幅也乘上了 |H(ejw)|。幾個相關名詞,說明如下。 同理,當輸入是
x[n] = sin(wn) = Im{ejwn}
則輸出是
y[n]=Im{ejwnH(ejw)}
=Im{ejwn |H(ejw)| ejq}, q = ∠H(ejw)
=Im{|H(ejw)| ej(wn+q)}
=|H(ejw)| sin(wn + q)
因此,我們可以得到一個結論:對於一個 LTI 系統而言,當輸入函數是一個單一弦波函數時,輸出也一定是一個頻率相同的弦波函數,只有震幅和相位會被系統所改變,而改變的方式完全依照系統的頻率響應 H(ejw) 而定。

上述的兩種弦波輸入,我們可以改用一個虛數的指數函數來概括:

x[n] = ejwn
那麼對應的輸出是
y[n] = ejwnH(ejw)
其中 H(ejw) 稱為 h[n] 的「離散時間傅立葉轉換」(Discrete-time Fourier Transform),可以表示如下:
H(ejw) = Skh[k]e-jwk
事實上,上述的輸入和輸出在現實世界並不存在,因為一個系統的輸入和輸出,不可能是複數。但是這些數學運算在理論上是成立的,因此我們可以使用這些式子來讓我們的推導更簡潔一些。
Audio Signal Processing and Recognition (音訊處理與辨識)