10-1 Discrete-Time Fourier Transform (伅聽葚鉥?

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我們在前一章中，已經說明了一個 LTI 系統的頻率響應，也就是其單位脈衝響應的離散時間傅立葉轉換，可用來表示對於特定頻率弦波所產生的震幅和相角改變。此外，對於任意的離散時間訊號 x[n]，其「離散時間傅立葉轉換」（簡稱 DTFT）及其反轉換可以表示如下：

X(e^jw) = S_ke^-jwk x[k]
x[n] = (2p)^-1∫_2pX(e^jw)e^jwn dw
由上述的第一個式子即可推導出第二個式子。在第二個式子中，由於 X(e^jw) 的週期性是 2p，因此積分區間可以是任何長度為 2p 的區間。
由第二個式子，可以我們可以將 x[n] 拆解成無窮個基本函數 e^jwn 的線性組合，而每一個基本函數的震幅則是由 X(e^jw) 來控制。換句話說，X(e^jw) 即代表 x[n] 在連續頻率 w 的分量，可以進一步說明如下。
由基本微積分可知，對於一個函數 f(x) 的積分，我們可以使用累加來逼近：

∫₀^2p f(x) dx = lim_N→∞S_k=0^N-1 f(k‧(2p/N))‧(2p/N)
因此如果 x[n] 是實數，我們就可以將其拆解開來，表示如下：

x[n] = Re{(2p)^-1∫_2pX(e^jw)e^jwn dw}
= (2p)^-1∫_2p Re{X(e^jw)e^jwn} dw
= (2p)^-1∫_2p |X(e^jw)| cos(wn + q) dw, q=∠X(e^jw)
= N^-1 S_k=0^N-1 [|X(e^jw)| cos(wn + q)]_w=2pk/N dw, N→∞
換句話說，x[n] 已經被拆解成 N 個餘弦函數的線性組合，而這些餘弦函數的角頻率是從 0 到 2p(N-1)/N，震幅則是 |X(e^jw)|/N 在每個角頻率的值。（如果 x[n] 是複數，我們也可以進行此種拆解，只不過物理意義較不明顯。）
由上一節及本節的討論，我們就可以瞭解，DTFT 具有兩個非常重要的意義：

如果 h[n] 是一個 LTI 系統的脈衝響應（Impulse Response），那麼 H(e^jw)=S_kh[k]e^-jwk 就可以代表此系統對於角頻率等於 w 的訊號所造成的增益 |H(e^jw)| 和相位 ∠H(e^jw)。
如果訊號 x[n] 是一個任意訊號，那麼 X(e^jw)=S_kx[k]e^-jwk 就可以代表此訊號在不同角頻率 w 的分量大小 |H(e^jw)| 和相位 ∠H(e^jw)。

以下列出離散時間傅立葉轉換的一些常用到的重要性質。

線性性質： z[n] = a x[n] + b y[n] ←→ Z(e^jw) = a X(e^jw) + b Y(e^jw)
週期性： X(e^{j(w + 2 k p)}) = X(e^jw) 換句話說，DTFT 的週期為 2p。
延遲性質： y[n] = x[n-k] ←→ Y(e^jw) = e^jwk X(e^jw)
旋積： y[n] = x[n]*h[n] ←→ Z(e^jw) = X(e^jw)Y(e^jw) 也就是說，在時域的旋積等於在頻域的乘積。
如果 x[n] 是一個實數序列，那麼我們可以將對應的 DTFT X(e^jw) 拆解成實部和虛部的組合，如下：

X(e^jw) = S_ke^-jwk x[k]
= S_kx[k] cos(wk) - j S_kx[k] sin(wk)
= X_R(e^jw) + j X_R(e^jw)
其中 X_R(e^jw) = S_kx[k] cos(wk)
X_I(e^jw) = - S_kx[k] sin(wk) 這些函數滿足下列性質：

共軛對稱：X^*(e^jw) = X(e^-jw)
X_R(e^jw) 是偶函數
X_I(e^jw) 是奇函數
|X(e^jw)| 是偶函數
∠X(e^jw) 是奇函數

Audio Signal Processing and Recognition (音訊處理與辨識)

x[n]	=	Re{(2p)^-1∫_2pX(e^jw)e^jwn dw}
	=	(2p)^-1∫_2p Re{X(e^jw)e^jwn} dw
	=	(2p)^-1∫_2p \|X(e^jw)\| cos(wn + q) dw, q=∠X(e^jw)
	=	N^-1 S_k=0^N-1 [\|X(e^jw)\| cos(wn + q)]_w=2pk/N dw, N→∞

X(e^jw)	=	S_ke^-jwk x[k]
	=	S_kx[k] cos(wk) - j S_kx[k] sin(wk)
	=	X_R(e^jw) + j X_R(e^jw)