9-2 Linear Time-Invariant Systems (u坅D雰t)

對於任一個離散時間訊號 x[n] 而言，我們可以使用一個電腦系統來處理此訊號，得到的輸出為 y[n]，這個關係可以用數學式表示如下：
y[n] = L{x[n]}
換句話說，此系統 L{•} 的輸入是一個函數 x[n]，n = 0∼∞，而對應的輸出也是一個函數 y[n]，n = 0∼∞。

Hint
為簡化討論，我們假設在 n 小於零時，x[n] = 0。換句話說，輸入訊號 x[n] 在 n ≧ 0 時才開始發生作用，因此 y[n] 也只有在 n ≧ 0 時，才有非零的值。

如果 L{•} 滿足下列兩個等式，此類系統稱為「線性系統」（Linear Systems）：

  1. y[n] = L{x[n]} → ky[n] = L{kx[n]}
  2. y1[n] = L{x1[n]}, y2[n] = L{x2[n]} → y1[n] + y2[n] = L{x1[n] + x2[n]}
上述兩等式，也可以寫成一個等式：
y1[n] = L{x1[n]}, y2[n] = L{x2[n]} → ay1[n] + by2[n] = L{ax1[n] + bx2[n]}, for all a and b.
上述等式稱為「疊加原則」（Superposition Principle），換句話說，只要滿足疊加原則的系統，就是線性系統。

如果 L{•} 滿足下列等式，此類系統稱為「非時變系統」（Time-invariant Systems）：

y[n] = L{x[n]} → y[n-k] = L{x[n-k]}, for all k.
如果一個系統是線性，而且也是非時變，我們稱其為「線性非時變系統」（Linear Time-invariant Systems），簡稱 LTI 系統。

在以下的討論中，我們均假設我們所遇到的系統都是 LTI 系統。

Audio Signal Processing and Recognition (音訊處理與辨識)