9-4 Eigen Functions (固有函數)

如果我們將某一類特定的輸入函數送進某個系統後，如果所得到的輸出函數仍然具有輸入函數的格式，則此函數稱為此系統的「固有函數」（Eigen Function）。本節將說明，指數函數（含弦波函數）就是 LTI 系統的固有函數。

如果我們的輸入函數是一個指數函數：

x[n]=e^pn 那麼根據之前推導的公式，可得到對應的輸出是：

y[n]	=	x[n]*h[n]
	=	Skx[n-k] h[k]
	=	Skep(n-k) h[k]
	=	Skepn-pk h[k]
	=	epnSke-pk h[k]
	=	epnH(ep)

換句話說，輸出函數 y[n] 等於原輸入函數乘上一個常數 H(e^p)（= S_ke^-pk h[k]，是一個不隨時間而變化的函數），因此我們說「指數函數是 LTI 系統的固有函數」。

從這裡推廣，任何輸入函數，只要能夠表示成指數函數的線性組合，就可以使用疊加原理，先算出這些指數函數的對應輸出，再進行線性組合，就可以得到原輸入函數的對應輸出，可用數學式表示如下：

x[n] = ae^pn + be^qn → y[n] = aH(e^p) + bH(e^q)

對於弦波函數，我們可以使用 Euler Identity 來代換成指數函數：

e^jq = cos(q) + j sin(q) 換句話說： cos(q) = (e^jq + e^-jq)/2 = Re{e^jq}
sin(q) = (e^jq - e^-jq)/(2j) = Im{e^jq} 因此，當輸入是 x[n] = cos(wn) = Re{e^jwn} 對應的輸出則是

y[n]	=	Re{ejwnH(ejw)}
	=	Re{ejwn |H(ejw)| ejq}, q = ∠H(ejw)
	=	Re{|H(ejw)| ej(wn+q)}
	=	|H(ejw)| cos(wn + q)

換句話說，輸出函數還是 cos，只不過相位偏移了 q = ∠H(e^jw)，震幅也乘上了 |H(e^jw)|。幾個相關名詞，說明如下。

• 如果我們不看相位，那麼此輸出的乘數 |H(e^jw)| 代表此系統對不同角頻率 w 的訊號的擴大或壓縮特性，因此我們通常稱 |H(e^jw)| 為「響度頻率響應」（Magnitude Frequency Response）。
• ∠H(e^jw) 則稱為「相位頻率響應」（Phase Frequency Response）。（一般而言，較少被用到，因為人耳對於相位的感覺，並不敏銳。）
• H(e^jw) 統稱是此系統的「頻率響應」（Frequency Response）。

同理，當輸入是 x[n] = sin(wn) = Im{e^jwn} 則輸出是

y[n]	=	Im{ejwnH(ejw)}
	=	Im{ejwn |H(ejw)| ejq}, q = ∠H(ejw)
	=	Im{|H(ejw)| ej(wn+q)}
	=	|H(ejw)| sin(wn + q)

因此，我們可以得到一個結論：對於一個 LTI 系統而言，當輸入函數是一個單一弦波函數時，輸出也一定是一個頻率相同的弦波函數，只有震幅和相位會被系統所改變，而改變的方式完全依照系統的頻率響應 H(e^jw) 而定。

上述的兩種弦波輸入，我們可以改用一個虛數的指數函數來概括：

x[n] = e^jwn 那麼對應的輸出是 y[n] = e^jwnH(e^jw) 其中 H(e^jw) 稱為 h[n] 的「離散時間傅立葉轉換」（Discrete-time Fourier Transform），可以表示如下： H(e^jw) = S_kh[k]e^-jwk 事實上，上述的輸入和輸出在現實世界並不存在，因為一個系統的輸入和輸出，不可能是複數。但是這些數學運算在理論上是成立的，因此我們可以使用這些式子來讓我們的推導更簡潔一些。

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Audio Signal Processing and Recognition (音訊處理與辨識)